===Mecanica I - Evaluacion integradora - 25-02-2009===
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1. Un eje esta empotrado en sus dos extremos. Sobre el mismo se encuentran dos volantes de momentos de inercia  <tex>I_{1}</tex> e <tex>I_{2}</tex>. La parte del eje situada entre los dos volantes tiene una constante de rigidez rotacional <tex>k_{\theta_{1}}</tex>=10<sup>6</sup> N.m, mientras uqe para el resto es <tex>k_{\theta_{2}}</tex>=5.10<sup>5</sup> N.m. Los momentos polares de inercia de los discos son <tex>I_{1}</tex>=10kg.m<sup>2</sup>, <tex>I_{2}</tex>=20kg.m<sup>2</sup>. (Recuerde que la energia potencial es la suma de terminos del tipo <tex>\frac{k\theta^{2}}{2}</tex>) 
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(a )Calcular las frecuencias naturales y los autovectores asociados.\\
(b )Hallar la matriz modal y los modos normales de vibracion.\\
(c )Calcular la energia del sistema si <tex>\theta_{1}(0)=3</tex> grados sexagesimales, <tex>\theta_{2}=\dot{\theta}_{1}(0)=\dot{\theta}_{2}(0)=0</tex> \\
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2. Una particula de masa <tex>m</tex> se encuentra en reposo sobre la cima de una esfera de radio <tex>a</tex>. La superficie es sin rozamiento y la unica fuerza que actua es la gravedad. Una muy ligera perturbacion provoca que la particula empiece a deslizar por la esfera:\\
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(a )Usando multiplicadores de lagrange demostrar que el angulo <tex>\theta_{0}</tex> donde la particula se separa de la esfera es tal que <tex>cos(\theta_{0})=\frac{2}{3}</tex>\\ \\
(b )Idem punto anterior pero usando Newton y conservacion de la energia.\\ \\
(c ) suponga ahora que existe un coeficiente de rozamiento <tex>\mu</tex> entre la esfera y la particula, usando Lagrange demuestra que el angulo de  separacion sigue siendo el mismo.
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3. Una rueda de molino de masa <tex>m=100</tex>kg y radio <tex>a=0,5</tex>m rueda sobre un circulo de radio <tex>l=1</tex>m.\\
El tiempo que tarda la rueda en recorrer ese circulo es de 20s.\\ \\
(a )Calcular el momentoangular de la rueda respecto del centro de coordenadas incerciales y la cupla respectiva.\\
(b )Calcular la fuerza que ejerce el piso sobre la rueda.\\