====== 62.03/04 Física II A/B - Trabajo Práctico de Laboratorio - Corriente Continua ======
**Período:** 1er Cuatrimestre 2008
**Alumnos:**
*Juan José Brusa
*Sebastián García Marra
*Iñaki García Mendive
===== Informe =====
Compuesto en $\LaTeX$ . El texto y las ecuaciones matemáticas están en tipografía //Times//.
En general, para hacer todo el TP, se consultaron: [[http://tug.ctan.org/tex-archive/info/beginlatex/beginlatex-3.6.pdf|A beginner's introduction to typesetting with LaTeX]] y [[http://www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/english/lshort.pdf|The not so short introduction to LaTeX2e]].
Para las ecuaciones matemáticas se consultó: [[http://web.fi.uba.ar/~ssantisi/works/ecuaciones_en_latex/ecuaciones_en_latex.pdf|Ecuaciones en LaTeX, por Sebastián Santisi]].
Para los vínculos internos se consultó: [[http://www.tug.org/applications/hyperref/manual.html|Hypertext marks in LaTeX: a manual for hyperref]].
Los gráficos fueron creados con [[general:gnuplot|gnuplot]] y [[http://tug.org/PSTricks/main.cgi/|pst-circ (requiere pstricks)]].
Para los gráficos con gnuplot se consultó [[http://www.bmsc.washington.edu/people/merritt/gnuplot/gnuplot.pdf|la documentación oficial de gnuplot]].
Para los gráficos con pst-circ se consultó [[ftp://cam.ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-circ/pst-circ-doc.pdf|la documentación oficial de pst-circ]].
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%\usepackage{wasysym} %para integrales dobles cerradas (no tan lindo como las de `esint')
\usepackage{esint} %para integrales dobles cerradas
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\usepackage{graphicx} %El paquete graphicx te permite incluir imágenes en el documento
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pdfauthor={Juan José Brusa, Sebastián García Marra e Iñaki García Mendive}% y Germán Gual}%
]{hyperref} %agrega hipervínculos y enlaces al documento
%A continuación, unos macros muy útiles para instertar fórmulas matemáticas comunmente usadas:
\newcommand{\igual}{& = & \displaystyle}
\newcommand{\norma}[1]{\left\| #1 \right\|}
\newcommand{\modulo}[1]{\left| #1 \right|}
\renewcommand{\sin}[1]{\, \mathrm{sen} \left( #1 \right)}
\renewcommand{\cos}[1]{\, \mathrm{cos} \left( #1 \right)}
\renewcommand{\tan}[1]{\, \mathrm{tan} \left( #1 \right)}
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\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
\newcommand{\ver}[1]{\mathbf{\check{#1}}}
\newcommand{\+}{\, \mathrm{d}} %diferencial (NO HACE FALTA poner un espacio entre el comando y lo que sigue, e.g. \+x compila perfecto como dx)
\newcommand{\dsub}[1]{_{\raisebox{-7pt}{\makebox[0pt]{\scriptsize \textsc{#1}}}} \ \, }
\newcommand{\eo}{\varepsilon_0}
\newcommand{\Ohm}{\Omega}
\newcommand{\micro}{\mbox{\textmu}}
%Otros macros
\newcommand{\titulo}{Mediciones con Corriente Continua}
\newcommand{\autor}[3]{\vspace{5mm}%
{\bf #1}\\%
{\bf Padrón:} #2\\%
\texttt{#3}\\}
\newcounter{problem}
\newcommand{\Problema}{\addtocounter{problem}{1} \subsection{Problema \theproblem} \label{sec:prob\theproblem}}
\newcommand{\Qf}{Quickfield}
\newcommand{\QF}{QuickField}
\newcommand{\tester}{\textit{tester}}
\newcommand{\K}{Kirchhoff}
\newcommand{\W}{Wheatstone}
\newcommand{\WS}{\begin{pspicture}(-1.1,0)(8.5,6)
\Large
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(0,0){A}
\pnode(0,6){B}
\pnode(5,6){C}
\pnode(2,3){D1}
\pnode(8,3){D2}
\pnode(5,0){E}
\pnode(3.5,3){F1}
\pnode(4.5,3){F2}
\pnode(5.5,3){F3}
\pnode(6.5,3){F4}
%Agrego componentes
\battery[labeloffset=-0.9](B)(A){$V_0$}
\resistor[labelangle=:U,dipolestyle=zigzag](D1)(C){$R_1$}
\resistor[labelangle=:U,dipolestyle=zigzag,labeloffset=-0.7](D1)(E){$R$}
\resistor[labelangle=:U,dipolestyle=zigzag](C)(D2){$R_2$}
\resistor[labelangle=:U,dipolestyle=zigzag,variable,labeloffset=-0.7](E)(D2){$R_3$}
\resistor[labelangle=:U,labeloffset=0](F1)(F2){$r$}
\circledipole[labeloffset=0](F3)(F4){\Large G}
%Uno con cables
\wire[intensitywidth=0](B)(C)
\wire[intensitywidth=0](E)(A)
\wire[intensitywidth=0](D1)(F1)
\wire[intensitywidth=0](F2)(F3)
\wire[intensitywidth=0](F4)(D2)
%Marco y nombro nodos
\qdisk(C){0.05}
\qdisk(D1){0.05}
\uput[180](D1){C}
\qdisk(D2){0.05}
\uput[0](D2){D}
\qdisk(E){0.05}
\uput{8pt}[90](E){B}
\end{pspicture}}
\newcommand{\CT}{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,4)
\large
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(0,0){A}
\pnode(0,3){B}
\pnode(4,3){C}
\pnode(4,0){D}
%Agrego componentes
\battery[labeloffset=0.9](B)(A){$V_0$}
\resistor[dipolestyle=zigzag](B)(C){$R_1$}
\resistor[labelangle=:U,dipolestyle=zigzag](D)(C){$R_2$}
\wire[intensitywidth=0](D)(A)
\circledipole[parallel,parallelsep=.3,parallelarm=2,parallelnode,labeloffset=0](C)(D){\large V}
\ground(A)
\end{pspicture}}
\newcommand{\testerideal}{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6.5,4)
\large
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(0,0){A}
\pnode(0,3){B}
\pnode(4,3){C}
\pnode(4,0){D}
%Agrego componentes
\battery[labeloffset=0.9](B)(A){$V_0$}
\resistor[dipolestyle=zigzag](B)(C){$R_1$}
\resistor[labelangle=:U,dipolestyle=zigzag](D)(C){$R_2$}
\wire[intensitylabel=$i$](D)(A)
\circledipole[parallel,parallelsep=.3,parallelarm=2,parallelnode,labeloffset=0](C)(D){\large V}
\ground(A)
%Marco y nombro nodos
\qdisk(1,3){0.05}
\uput[90](1,3){A}
\qdisk(3,3){0.05}
\uput[90](3,3){B}
\qdisk(4,2.55){0.05}
\uput[180](4,2.55){C}
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\uput[180](4,0.45){D}
\end{pspicture}}
\newcommand{\testerreal}{\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7,4)
\large
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(0,0){A}
\pnode(0,3){B}
\pnode(4,3){C}
\pnode(4,0){D}
%Agrego componentes
\battery[labeloffset=0.9](B)(A){$V_0$}
\resistor[dipolestyle=zigzag,tensionlabel=$i_1$,tensionlabeloffset=-0.7,tensionoffset=-0.4](B)(C){$R_1$}
\resistor[labelangle=:U,dipolestyle=zigzag,tensionlabel=$i_2$,tensionlabeloffset=-0.7,tensionoffset=-0.4,directconvention=false](D)(C){$R_2$}
\wire[intensitywidth=0](D)(A)
\resistor[labelangle=90, labeloffset=-0.7, dipolestyle=zigzag, parallel, parallelsep=.2, parallelarm=2, parallelnode, tensionlabel=$i_3$, tensionlabeloffset=0.7, tensionoffset=0.4](C)(D){$R_{\mathrm{int}}$}
\ground(A)
%Marco y nombro nodos
\qdisk(1,3){0.05}
\uput[90](1,3){A}
\qdisk(3,3){0.05}
\uput[90](3,3){B}
\qdisk(4,2.7){0.05}
\uput[180](4,2.7){C}
\qdisk(4,0.3){0.05}
\uput[180](4,0.3){D}
\end{pspicture}}
%Determinación del estilo de página (encabezado y pie)
\lhead{\small \titulo}
\chead{}
\rhead{\small Física II A}
\rfoot{}
\cfoot{Página {\thepage} de \pageref{pag:ultima}}
\lfoot{}
%Manejo de márgenes
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\addtolength{\textwidth}{2cm} %Agrega 2cm al ancho por defecto (usado junto con hoffset, no se pierde el centrado)
\addtolength{\hoffset}{-1cm} %Quita 1cm al margen, pero mantiene la relación repecto de cada margen
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\addtolength{\voffset}{-1cm}
\setlength{\headheight}{14pt}
%Manejo de contadores (counters)
\setcounter{secnumdepth}{2} %Profundidad en la enumeración de las secciones:
%-1 Part, 0 Chapter, 1 Section, 2 Subsection, 3 Subsubsection, 4 Titled paragraph, 5 Titled subparagraph
\setcounter{tocdepth}{2} %Profundidad de la aparición de las secciones en el índice:
%-1 Part, 0 Chapter, 1 Section, 2 Subsection, 3 Subsubsection, 4 Titled paragraph, 5 Titled subparagraph
%Manejo de listas
\setenumerate[1]{label=\emph{\alph*}),ref=\emph{\alph*}}
\setenumerate[2]{i)}
%\setitemize[level]{format}
%\setdescription{format}
\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\hspace{\stretch{1}}\raisebox{-197.5mm}[0pt][0pt]{\makebox[100mm]{\includegraphics[width=\textwidth]{uba}}}\hspace{\stretch{1}}
%\raisebox{-73mm}[0pt][0pt]{\makebox[360mm]{\includegraphics[width=\textwidth]{avrs2}}}
\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=160pt]{logofiuba2}
\end{center}
\end{figure}
\vspace{5mm}
\begin{center}
{\huge{\bf \titulo}}
\end{center}
\vspace{20mm}
{\flushright
\autor{Juan José Brusa}{XXXXX}{dirección de mail}
\autor{Sebastián García Marra}{XXXXX}{dirección de mail}
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%\autor{Germán Gual}{XXXXX}{dirección de mail}
}
\vspace{15mm}
\begin{center}
Física II A - Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ingeniería
\end{center}
\vspace{7mm}
\begin{center}
{\bf Grupo Nº5}
\vspace{3mm}
{\bf Trabajo Práctico Nº3}
\end{center}
\newpage
%\tableofcontents
\setcounter{page}{1}
%\newpage
%\vspace{\stretch{4}}
%\listoffigures
%\vspace{\stretch{1}}
%\listoftables
%\vspace{\stretch{4}}
%\newpage
\begin{abstract}
\label{resumen}
El presente trabajo práctico consta de dos etapas:
%
\begin{itemize}
\item Medición de resistencias por medio de dos métodos, con el fin comparar los resultados obtenidos y determinar cuál de ellos aproxima mejor el valor real de la magnitud medida.
\item Analizar la variación de la incerteza de la medición, conforme el valor de la resistencia medida se asemeja en orden de magnitud a la resistencia interna del \tester.
\end{itemize}
Para realizar los cálculos nos valdremos de la \emph{ley de Ohm} y de las \emph{reglas de Kirchhoff}, así como también del método del \emph{puente de Wheatstone}.
Estos temas serán debidamente comentados en la introducción de este informe.
\end{abstract}
\newpage
\section{Introducción}
En el marco teórico que subyace a este trabajo práctico es necesario hacer referencia ~---como ya se dijo anteriormente~--- a un conjunto de elementos que hacen posible el desarrollo de nuestro estudio, a saber:
%
\begin{description}
\item[Ley de Ohm] Establece que la tensión es igual al producto entre la corriente y la resistencia por la cual circula dicha corriente:
%
\begin{equation}
V=IR.
\end{equation}
%
\item[Reglas de Kirchhoff] \hspace{0pt}
%
\begin{itemize}
\item Regla de los nodos: La suma de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero:
%
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n{I_k}=0.
\end{equation}
%
\item Regla de las mallas: La suma de todas las caídas de tensión en un circuito cerrado es igual a cero:
%
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n{\Delta V_k}=0.
\end{equation}
\end{itemize}
%
\item[Puente de \W] El puente de \W{} es un circuito con una configuración específica (fig.~\ref{fig:ws}) que consta de una fuente, un galvanómetro en modo ``amperímetro'' y cinco resistencias, una de las cuales actúa como \emph{resistencia de protección} para el circuito interno del galvanómetro.
%
\begin{figure}[hcp]
\centering
\resizebox{!}{4cm}{\WS}
\caption{Puente de Wheatstone}
\label{fig:ws}
\end{figure}
%
Para la configuración mostrada se cumple que si la corriente que circula por la rama del galvanómetro es $I=0$, entonces: \begin{equation} R_1R_3=R_2R. \label{eqn:ws} \end{equation} De esta manera puede determinarse el valor de una resistencia incógnita, siempre que se conozca el valor de las otras tres resistencias y pueda asegurarse que la corriente en el galvanómetro es nula. Esto se cumple pues ~---cuando se verifica la ecuación de las resistencias~--- la diferencia de potencial $V_{\mathrm{CD}}$ entre los nodos $\mathrm C$ y $\mathrm D$ es nula: ergo, no hay circulación de corriente entre los dos puntos del circuito. Este método de determinación de $R$ se denomina \emph{método de cero}.
\end{description}
\section{Método Experimental}
\label{sec:metodo}
%\begin{figure}[hcp]
% \centering
% \resizebox{!}{5cm}{\WS}
% \caption{Puente de Wheatstone}
% \label{fig:circuitopw}
%\end{figure}
\begin{description}
\item[Medición de resistencias con un \tester:] como primer paso, se tomaron tres resistencias del laboratorio y se efectuó su medición mediante un multímetro. Luego ~---utilizando la tabla de tolerancias (cuadro~\ref{tab:tolerancias})~--- se determinaron las incertezas de cada una para así poder compararlas con su valor nominal.
\begin{table}[hct]
\begin{center}
\begin{threeparttable}
\begin{math}
\begin{array}{|r@{\thinspace}l|r@{\thinspace}l|c|r@{\thinspace}l|}
\hline
\multicolumn{2}{|c}{\mbox{Rango}} & \multicolumn{2}{|c|}{\mbox{Resolución}} & \rule{0pt}{3.6ex} \mbox{Precisión\tnote{1}} & \multicolumn{2}{c|}{\parbox[c]{100pt}{\centering Corriente máxima de prueba}}\\[1.5ex]
\hline
200 & \unit{\Ohm} & 0.1 & \unit{\Ohm} & \mathrm{\pm0.7\%rdg\pm3dgt} & \rule{2.8em}{0pt} 0.7 & \unit{mA} \\
2000 & \unit{\Ohm} & 1 & \unit{\Ohm} & \mathrm{\pm0.7\%rdg\pm1dgt} & 0.1 & \unit{mA} \\
20 & \unit{k\Ohm} & 10 & \unit{\Ohm} & \mathrm{\pm0.7\%rdg\pm1dgt} & 30 & \unit{\micro A} \\
200 & \unit{k\Ohm} & 100 & \unit{\Ohm} & \mathrm{\pm0.7\%rdg\pm1dgt} & 4 & \unit{\micro A} \\
2000 & \unit{k\Ohm} & 1 & \unit{k\Ohm} & \mathrm{\pm1.0\%rdg\pm2dgt} & 0.4 & \unit{\micro A} \\
20 & \unit{M\Ohm} & 10 & \unit{k\Ohm} & \mathrm{\pm2.0\%rdg\pm2dgt} & 40 & \unit{nA} \\
\hline
\end{array}
\end{math}
\begin{tablenotes}
\item[1] $\mathrm{rdg}$: lectura del instrumento.\\ $\mathrm{dgt}$: cantidad de dígitos de la última cifra significativa de la medición.
\end{tablenotes}
\end{threeparttable}
\end{center}
\caption[Tabla de tolerancias]{Tabla de tolerancias para la medición de resistencias con el \tester\ modelo 3520}
\label{tab:tolerancias}
\end{table}
\item[Medición mediante el \emph{método de cero}:] como segunda experiencia se midió una resistencia mediante el puente de \W. Se tomaron cuatro resistencias: $R_1$ y $R_2$ (reóstatos), una resistencia $R_3$ variable (caja de resistencias) y una resistencia $R$ incógnita. A manera de comparar resultados, se determinó con un \tester\ el valor de $R$ previamente a efectuar la experiencia, e inmediatamente se procedió a armar el circuito (fig.~\ref{fig:ws}).
Con la resistencia de protección $r$ conectada, se varió la resistencia $R_3$ hasta que no circulara corriente por el galvanómetro. Sólo entonces se cortocircuitó $r$: de este modo nos aseguramos ~---antes de quitar la resistencia de protección~--- que por el instrumento de medición circulara una corriente baja que no pudiera dañarlo.
Con esto logramos la condición $I=0$ sobre el galvanómetro, y por lo tanto pudimos aplicar la antedicha relación~(\ref{eqn:ws}) entre resistencias: de esta manera se halló experimentalmente el valor de la resistencia incógnita $R$. El mismo pudo ser luego comparado con el obtenido mediante el multímetro.
Idénticos pasos se han seguido para determinar la otra resistencia desconocida.
\pagebreak
\item[Medición de caídas de tensión con un \tester:] para esta tercera experiencia se contó con tres pares de resistencias de $\unit[5.6]{k\Ohm}$, $\unit[560]{k\Ohm}$ y $\unit[5.6]{M\Ohm}$ respectivamente, y se procedió a la medición de la caída de tensión sobre una de ellas, previo armado del circuito de la figura~\ref{fig:tenstester}.
%
\begin{figure}[hcb]
\centering
\resizebox{!}{4cm}{\CT}
\caption[Circuito utilizado en mediciones de tensión]{Circuito utilizado en las mediciones de tensión con un \tester}
\label{fig:tenstester}
\end{figure}
%
Acto seguido, se calculó la caída de tensión teórica $V_{\mathrm{le\acute{\dotlessi}da}}$ en la susodicha resistencia mediante el uso de la siguiente fórmula:
%la tensión real $V_0$ aplicada al circuito
%
\begin{equation}
V_{\mathrm{le\acute{\dotlessi}da}} = \frac{R_2'}{R_1+R_2'} \cdot V_0\mbox{,}
\end{equation}
%
donde
%
\begin{equation}
R_2' = \frac{R_2 R_{\mathrm{int}}}{R_2+R_{\mathrm{int}}}.
\end{equation}
\end{description}
Además, fue realizada la siguiente experiencia:
%
\begin{description}
\item[Curvas Tensión-Corriente de una lamparita:] medimos cómo varía la resistencia de una lamparita conforme aumenta su temperatura. Seguimos los siguientes pasos:
\begin{enumerate}[label=\arabic{enumi}.,ref=\arabic{enumi}]
\item Se midió con un \tester\ la resistencia de la lámpara de $\unit[12]{V}$ en frío.
\item Se armó el circuito con la lámpara y una fuente que tiene incorporados un voltímetro (que mide la tensión en los bornes de salida) y un amperímetro (que mide la
corriente entregada).
\item Se colocó la tensión a cero y se llevó la perilla de limitación de corriente hasta (aproximadamente) tres cuartos de su recorrido. \label{en:perilla}
\item Se fue aumentando la tensión en tramos de $\unit[0.5]{V}$ hasta llegar a $\unit[12]{V}$, registrándose los valores de corriente y tensión para cada intervalo.\label{en:prog}
\item Se invirtieron las terminales de la lamparita y se repitieron los pasos~\ref{en:perilla} y~\ref{en:prog}.
\item Se ha efectuado un gráfico de $I$ \emph{versus} $V$ para cada caso (fig.~\ref{fig:IversusV}).
\end{enumerate}
\end{description}
%\pagebreak
\section{Resultados}
\label{sec:resultados}
\subsection{Multímetro}
\begin{enumerate}[label=\arabic{enumi}.,ref=\arabic{enumi}]
\item Valor nominal: $\unit[5.6]{k\Ohm}$.\newline
$\mathrm{rdg}=\unit[5.51]{k\Ohm}$.\newline
Entonces: $\Delta R = 0.7\% \cdot \unit[5.51]{k\Ohm} + 1 \cdot \unit[0.01]{k\Ohm} = \unit[0.05]{k\Ohm}$,
\begin{displaymath}
R = \unit[5.5]{k\Ohm} \pm \unit[0.1]{k\Ohm}.
\end{displaymath}
\item Valor nominal: $\unit[560]{k\Ohm}$.\newline
$\mathrm{rdg}=\unit[553]{k\Ohm}$.\newline
Entonces: $\Delta R = 0.7\% \cdot \unit[553]{k\Ohm} + 1 \cdot \unit[1]{k\Ohm} = \unit[4.87]{k\Ohm}$,
\begin{displaymath}
R = \unit[553]{k\Ohm} \pm \unit[5]{k\Ohm}.
\end{displaymath}
\item Valor nominal: $\unit[5.6]{M\Ohm}$.\newline
$\mathrm{rdg}=\unit[5.51]{M\Ohm}$.\newline
Entonces: $\Delta R = 1.0\% \cdot \unit[5.51]{M\Ohm} + 2 \cdot \unit[0.01]{M\Ohm} = \unit[0.08]{M\Ohm}$,
\begin{displaymath}
R = \unit[5.5]{M\Ohm} \pm \unit[0.1]{M\Ohm}.
\end{displaymath}
\end{enumerate}
\subsection{Método de cero}
\begin{description}[leftmargin=151pt,style=nextline,font=\normalfont]%widest=Reóstatos de valor conocido:]
\item[Reóstatos de valor conocido:] $\begin{array}[t]{rcl} R_1 \igual \unit[194]{\Ohm}\mbox{,}\\
R_2 \igual \unit[90]{\Ohm}. \end{array}$
\item[Resistencias incógnitas:] $\begin{array}[t]{c} R_{\mathrm{i1}}\mbox{,} \\ R_{\mathrm{i2}}. \end{array}$
%$\begin{array}[t]{rcl} R_{\mathrm{i1}} \igual \unit[380]{\Ohm}\\ R_{\mathrm{i2}} \igual \unit[93.2]{\Ohm} \end{array}$
\end{description}
En este esquema, las resistencias variables $R_\mathrm{v}$ arrojaron los siguientes valores:
%
\begin{enumerate}[label=\arabic{enumi}.,ref=\arabic{enumi}]
\item $R_\mathrm{v} = \unit[830]{\Ohm}$. Aplicando luego la fórmula~(\ref{eqn:ws}):
\begin{displaymath}
R_{\mathrm{i1}} = \unit[385.05]{\Ohm}.
\end{displaymath}
%
\item $R_\mathrm{v} = \unit[200.89]{\Ohm}$ y entonces:
\begin{displaymath}
R_{\mathrm{i2}}=\unit[92.3]{\Ohm}.
\end{displaymath}
\end{enumerate}
\subsection{Caidas de tensión}
\begin{enumerate}[label=\arabic{enumi}.,ref=\arabic{enumi}]
\item $\begin{array}[t]{rcrcl} R_1 \igual R_2 \igual \unit[5.6]{k\Ohm}\mbox{,}\\
&& V_0 \igual \unit[11.85]{V}\mbox{,}\\
&& R_\mathrm{int} \igual \unit[10\thinspace000]{k\Ohm} \mbox{, con lo cual:} \end{array}$
%
\begin{displaymath}
V_\mathrm{le\acute\dotlessi da} = \unit[5.92]{V}.
\end{displaymath}
\item $\begin{array}[t]{rcrcl} R_1 \igual R_2 \igual \unit[560]{k\Ohm}\mbox{,}\\
&& V_0 \igual \unit[11.85]{V}\mbox{,}\\
&& R_\mathrm{int} \igual \unit[10\thinspace000]{k\Ohm} \mbox{, con lo cual:} \end{array}$
%
\begin{displaymath}
V_\mathrm{le\acute\dotlessi da} = \unit[5.76]{V}.
\end{displaymath}
\item $\begin{array}[t]{rcrcl} R_1 \igual R_2 \igual \unit[5.6]{M\Ohm}\mbox{,}\\
&& V_0 \igual \unit[11.92]{V}\mbox{,}\\
&& R_\mathrm{int} \igual \unit[10]{M\Ohm} \mbox{, con lo cual:} \end{array}$
%
\begin{displaymath}
V_\mathrm{le\acute\dotlessi da} = \unit[4.66]{V}.
\end{displaymath}
\end{enumerate}
%\pagebreak
\subsection{Lamparita}
\begin{math}
%\left. %
\left. \begin{array}{rcl}
R \igual \unit[1]{\Ohm}\mbox{,}\\
V \igual \unit[12]{V}.
\end{array} \right\} \Longrightarrow%
%\begin{array}[t]{rcl} I \igual \frac{V}{R}\\ \igual \frac{\unit[12]{V}}{\unit[1]{\Ohm}}\\ I \igual \unit[12]{A} \end{array} \right\} \longrightarrow
\begin{array}[t]{rcl} P \igual \frac{V^2}{R}\\ \igual \frac{{\left(\unit[12]{V}\right)}^2}{\unit[1]{\Ohm}} \\ P \igual \unit[144]{W}. \end{array}
\end{math}
\begin{table}[!hct]
\begin{center}
\begin{math}
\begin{array}{c@{\extracolsep{30pt}}c@{}c@{}c}
\begin{array}{|l|l|}%{|r@{$,$}l|r@{$,$}l|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{V(\unit{V})} & \multicolumn{1}{|c|}{I(\unit{A})}\\ \hline
\phantom{1}0.5 & 0.34\\
\phantom{1}1 & 0.53\\
\phantom{1}1.5 & 0.61\\
\phantom{1}2 & 0.71\\
\phantom{1}2.5 & 0.77\\
\phantom{1}3 & 0.84\\ \hline
\end{array}
&
\begin{array}{|l|l|}%{|r@{$,$}l|r@{$,$}l|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{V(\unit{V})} & \multicolumn{1}{|c|}{I(\unit{A})}\\ \hline
\phantom{1}3.5 & 0.92\\
\phantom{1}4 & 0.98\\
\phantom{1}4.5 & 1.05\\
\phantom{1}5 & 1.11\\
\phantom{1}5.5 & 1.16\\
\phantom{1}6 & 1.22\\ \hline
\end{array}
&
\begin{array}{|l|l|}%{|r@{$,$}l|r@{$,$}l|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{V(\unit{V})} & \multicolumn{1}{|c|}{I(\unit{A})}\\ \hline
\phantom{1}6.5 & 1.27\\
\phantom{1}7 & 1.32\\
\phantom{1}7.5 & 1.36\\
\phantom{1}8 & 1.41\\
\phantom{1}8.5 & 1.46\\
\phantom{1}9 & 1.51\\ \hline
\end{array}
&
\begin{array}{|l|l|}%{|r@{$,$}l|r@{$,$}l|}
\hline
\multicolumn{1}{|c|}{V(\unit{V})} & \multicolumn{1}{|c|}{I(\unit{A})}\\ \hline
\phantom{1}9.5 & 1.55\\
10 & 1.58\\
10.5& 1.63\\
11 & 1.67\\
11.5& 1.72\\
12 & 1.75\\ \hline
\end{array}
\end{array}
\end{math}
\end{center}
\caption[Tabla de valores de $I$ y de $V$]{Tabla de valores de $I$ y de $V$ en la experiencia de la lamparita}
\label{tab:IversusV}
\end{table}
\begin{figure}[!hbc]
\begin{center}
\includegraphics[height=6cm]{I_versus_V}
\caption[Gráfico de $I$ \emph{versus} $V$]{Gráfico de $I$ \emph{versus} $V$ en la experiencia de la lamparita (interpolación lineal)}
\label{fig:IversusV}
\end{center}
\end{figure}
%\clearpage
%\begin{table}[hct]
% \centering
% $\begin{array}{|c|
%@{\extracolsep{10pt}}
% r @{\extracolsep{0pt}} l
% @{\extracolsep{10pt}}
% r @{\extracolsep{0pt}} l
% @{\extracolsep{10pt}}
% r @{\extracolsep{0pt}} l
% @{\extracolsep{30pt}}
% r @{\extracolsep{0pt}} l
% @{\extracolsep{10pt}}
% r @{\extracolsep{0pt}} l
% @{\extracolsep{10pt}}
% r @{\extracolsep{0pt}} l |}
%\multicolumn{9}{c}{$\textbf{Distribución ``Cilindro''}$}\\ %Acá se inserta el título sobre las cinco columnas
% \hline
% $Punto$ & \multicolumn{6}{c}{$Método Experimental$} & \multicolumn{6}{c|}{$Método Numérico$}\\
% \cline{2-3}\cline{4-7} \cline{8-9}\cline{10-13} %Pone lineas hr. entre esos números de columnas, pongo dos porque entre ambas no hay línea.
% & \multicolumn{2}{c}{V (\unit{V})} & \multicolumn{4}{c}{E \left(\unitfrac{V}{m}\right)} &%
% \multicolumn{2}{c}{V (\unit{V})} & \multicolumn{4}{c|}{E \left(\unitfrac{V}{m}\right)}\\% & & \multicolumn{2}{c}{E \left(\unitfrac{V}{m}\right)} & \multicolumn{2}{c|}{V (\unit{V})} \\%Acá inserto los 4 nombres corresp. a las 4 col ubicadas bajo 2 títulos.
% \cline{2-3}\cline{4-7} \cline{8-9}\cline{10-13}
% 1 & 4&.66 & -23&.25 & 23& & && && &\\
% 2 & 6&.12 & -5&.75 & 15&.25 & && && &\\
% 3 & 4&.65 & -12&.25 & 34&.75 & 0&.32 & -1&.94 & 15&.17\\
% 4 & 6&.49 & -12& & 20&.25 & 3&.10 & -4&.68 & 7&.17\\
% 5 & 6&.38 & -8&.75 & 24&.5 & && && &\\
% 6 & 7&.10 & -13&.5 & 24&.5 & 3&.66 & -7&.94 & 11&.49\\
% 7 & 7&.96 & -13& & 27&.5 & && && &\\
% 8 & 7&.59 & -9&.5 & 15&.5 & 4&.28 & -3&.94 & -3&.94\\
% 9 & 9&.74 & -25&.25 & 28&.5 & 9&.30 & -30&.22 & 36&.38\\
% 10 & 9 && -21&.5 & 11& & && && &\\
% \hline
% \end{array}$
% \caption[Campo y Potencial]{Potencial y Campo experimentales y numéricos}
% \label{fig:potcam}
%\end{table}
\section{Discusión}
Luego de realizar las mediciones y las subsiguientes comparaciones vemos que ninguno de los dos métodos ~---el puente de \W\ y el método del multímetro~--- supone una gran fuente de error: ambos arrojan valores aceptables respecto de lo deseado. No obstante, es importante remarcar que la precisión del segundo procedimiento depende en gran medida de la relación entre $R_{\mathrm{int}}$ (la resistencia interna del multímetro) y la resistencia medida $R_{\mathrm{med}}$, de manera que cuando esta última es comparable con $R_{\mathrm{int}}$ la incerteza aumenta, mientras que con el método del puente de \W\ esto no ocurre.
\section{Conclusiones}
\label{sec:conclus}
\emph{A priori,} basándonos en la discusión, se podría pensar que el empleo de un puente de \W\ es lo más apropiado para cualquier caso en que se desee efectuar una medición de este tipo. Sin embargo, en la práctica resultaría excesivamente incómoda e inconveniente la utilización de este ``anticuado'' método, tanto así que en muchos casos sería casi imposible su implementación. Por ende, el multímetro resulta el método por excelencia para todos estos casos, y lo único que restaría es prestar especial atención a la magnitud de los elementos medidos respecto de nuestro instrumento de medición.
%\addcontentsline{toc}{section}{Referencias}
%\begin{thebibliography}{99}
% \bibitem{nadie}
%\end{thebibliography}
\newpage
\appendix
\section{Problemas adicionales}
\label{pradic}
\Problema
\subsubsection{Enunciado}
Indique el valor y la tolerancia de las resistencias de carbón que tienen los siguientes códigos:
\begin{enumerate}
\item Naranja, negro, rojo, dorado.
\item Rojo, azul, marrón, plateado.
\end{enumerate}
\subsubsection{Resolución}
\begin{enumerate}
\item $\unit[\left(3000 \pm 150\right)]{\Ohm}.$
\item $\unit[\left(260 \pm 26\right)]{\Ohm}.$
\end{enumerate}
\Problema
\subsubsection{Enunciado}
Se tienen los siguientes valores de resistencia medidos una vez con el \tester\ de la práctica. En base a las especificaciones, estimar la incerteza de cada lectura (use la tabla de tolerancias (cuadro~\ref{tab:tolerancias})):
%
\begin{enumerate}[label=\emph{\alph*})] \setlength{\itemsep}{-6pt}
\item $\unit[1.1]{\Ohm}.$
\item $\unit[180.5]{\Ohm}.$
\item $\unit[1500]{\Ohm}.$
\item $\unit[6800]{\Ohm}.$
\item $\unit[180.3]{k\Ohm}.$
\item $\unit[4710]{M\Ohm}.$
\end{enumerate}
%
¿Cuál de las incertezas influye más en la calidad de la medida? ¿La porcentual o la relativa a los dígitos que indica el \tester? Justificar.
\subsubsection{Resolución}
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{rdg}=\unit[1.1]{\Ohm}.$\\[5pt] \label{en:prob2-1.1}
%
$\begin{array}{rcl}
\Delta R \igual 0.7\% \cdot \unit[1.1]{\Ohm} + 3 \cdot \unit[0.1]{\Ohm}\\
\igual \unit[0.01]{\Ohm} + \unit[0.3]{\Ohm}\\
\Delta R \igual \unit[0.31]{\Ohm}.
\end{array}$
\[
R=\unit[\left(1.1 \pm 0.3\right)]{\Ohm}.
\]
\item $\mathrm{rdg}=\unit[180.5]{\Ohm}.$\\[5pt] \label{en:prob2-180.5}
%
$\begin{array}{rcl}
\Delta R \igual 0.7\% \cdot \unit[180.5]{\Ohm} + 3 \cdot \unit[0.1]{\Ohm}\\
\igual \unit[1.26]{\Ohm} + \unit[0.3]{\Ohm}\\
\Delta R \igual \unit[1.56]{\Ohm}.
\end{array}$
\[
R=\unit[\left(181 \pm 2\right)]{\Ohm}.
\]
\item $\mathrm{rdg}=\unit[1500]{\Ohm}.$\\[5pt] \label{en:prob2-1500}
%
$\begin{array}{rcl}
\Delta R \igual 0.7\% \cdot \unit[1500]{\Ohm} + 3 \cdot \unit[100]{\Ohm}\\
\igual \unit[10.5]{\Ohm} + \unit[300]{\Ohm}\\
\Delta R \igual \unit[310.5]{\Ohm}.
\end{array}$
\[
R=\unit[\left(1500 \pm 300\right)]{\Ohm}.
\]
\item $\mathrm{rdg}=\unit[6800]{\Ohm}.$\\[5pt] \label{en:prob2-6800}
%
$\begin{array}{rcl}
\Delta R \igual 0.7\% \cdot \unit[6800]{\Ohm} + \unit[100]{\Ohm}\\
\igual \unit[47.6]{\Ohm} + \unit[100]{\Ohm}\\
\Delta R \igual \unit[147.6]{\Ohm}.
\end{array}$
\[
R=\unit[\left(6800 \pm 100\right)]{\Ohm}.
\]
\item $\mathrm{rdg}=\unit[180.3]{k\Ohm}.$\\[5pt] \label{en:prob2-180.3k}
%
$\begin{array}{rcl}
\Delta R \igual 0.7\% \cdot \unit[180.3]{k\Ohm} + \unit[0.1]{k\Ohm}\\
\igual \unit[1.26]{k\Ohm} + \unit[0.1]{k\Ohm}\\
\Delta R \igual \unit[1.36]{k\Ohm}.
\end{array}$
\[
R=\unit[\left(180 \pm 2\right)]{k\Ohm}.
\]
\item $\mathrm{rdg}=\unit[4710]{M\Ohm}.$\\[5pt] \label{en:prob2-4710M}
%
$\begin{array}{rcl}
\Delta R \igual 2\% \cdot \unit[4710]{M\Ohm} + 2 \cdot \unit[10]{M\Ohm}\\
\igual \unit[94.2]{M\Ohm} + \unit[20]{M\Ohm}\\
\Delta R \igual \unit[114.2]{M\Ohm}.
\end{array}$
\[
R=\unit[\left(4710 \pm 100\right)]{M\Ohm}.
\]
\end{enumerate}
Es evidente que en los items~\ref{en:prob2-180.5}, \ref{en:prob2-180.3k} y~\ref{en:prob2-4710M} la incerteza porcentual es la que más influye en la calidad de la medida, pues el cociente que surge de dividir la incerteza porcentual por la relativa a los dígitos que indica el \tester\ es, en cada caso, igual a $4.2$, $12.6$ y $4.71$. Luego, la primera contribuye en mucho mayor medida al valor final de la incerteza que la segunda.
Lo contrario ocurre en los items~\ref{en:prob2-1.1}, \ref{en:prob2-1500} y~\ref{en:prob2-6800}. En efecto: si en cada caso dividimos la incerteza relativa a los dígitos por la incerteza porcentual obtendremos ~---en forma aproximada~--- $30$, $30$ y $2$, respectivamente.
\Problema
\subsubsection{Enunciado}
Determinar la condición de equilibrio del puente de Wheatstone (fig.~\ref{fig:ws}) a partir de las reglas de \K.
\subsubsection{Resolución}
Haciendo la circulación en dos mallas distintas, obtenemos:
%
\begin{eqnarray}
\nonumber V_0 \igual i_1 \left( R_1 + R \right)\\
\nonumber V_0 \igual i_2 \left( R_2 + r_3 \right)\\
i_1 \left( R_1 + R \right) \igual i_2 \left( R_2 + r_3 \right). \label{eq:iR+R}
\end{eqnarray}
Asimismo, como no debe circular corriente por la rama en la que se encuentra el galvanómetro, debe ser:
%
\begin{equation}
V_C = V_D. \label{eq:potCD}
\end{equation}
%
\begin{center}
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
$\begin{array}{rcl}
V_C - V_B \igual V_C - 0\\
\igual V_C\\
\igual i_1 R.
\end{array}$
%
\begin{equation}
i_1 = \frac{V_C}{R}. \label{eq:poti1R}
\end{equation}
\end{minipage}
%
\hspace{0.25cm} \vline \hspace{0.25cm}
%
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
$\begin{array}{rcl}
V_D - V_B \igual V_D - 0\\
\igual V_D\\
\igual i_2 R_3.
\end{array}$
%
\begin{equation}
i_2 = \frac{V_D}{R_3}. \label{eq:poti2R3}
\end{equation}
\end{minipage}
\end{center}
%
Con lo cual, reemplazando~(\ref{eq:poti1R}) y~(\ref{eq:poti2R3}) en~(\ref{eq:iR+R}), tenemos:
%
\begin{eqnarray}
\nonumber \frac{R_1+R}{R} \cdot V_C \igual \frac{R_2+R_3}{R_3} \cdot V_D\\
\nonumber \frac{R_1}{R}+1 \igual \frac{R_2}{R_3}+1\\
\nonumber \frac{R_1}{R} \igual \frac{R_2}{R_3}\\
\nonumber \frac{R}{R_1} \igual \frac{R_3}{R_2}\\
R R_2 \igual R_1 R_3.
\end{eqnarray}
\newpage
\addtocounter{problem}{1}
\addtocounter{subsection}{1}
\Problema
\subsubsection{Enunciado}
Para el circuito de la figura~\ref{fig:tenstester}, calcular las caidas de tensión sobre las resistencias y computar la suma algebraica de dichas caidas:
%
\begin{enumerate}
\item Considerando el \tester\ ideal (fig.~\ref{fig:testerideal}), con los siguientes valores: \label{en:ideal}
\begin{enumerate}[i)]
\item $V_0=\unit[10]{V}$, $R_1 = R_2 = \unit[5.6]{k\Ohm}$.
\item $V_0=\unit[10]{V}$, $R_1 = R_2 = \unit[560]{k\Ohm}$.
\item $V_0=\unit[10]{V}$, $R_1 = R_2 = \unit[5.6]{M\Ohm}$.
\end{enumerate}
\item Considerando el \tester\ real ($R_{\mathrm{int}}=\unit[10]{M\Ohm}$, fig.~\ref{fig:testerreal}), para el mismo juego de valores del punto~\ref{en:ideal}.
\end{enumerate}
\subsubsection{Resolución}
\begin{figure}[hcp]
\begin{minipage}[c]{0.53\textwidth}
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item
\begin{eqnarray}
\nonumber V_0 \igual i R_1 + iR_2\\
\nonumber V_0 \igual i \left( R_1 + R_2 \right)\\
\nonumber i \igual \frac{V_0}{R_1 + R_2}\\
\nonumber i \igual \frac{\unit[10]{V}}{\unit[5.6]{k\Ohm} + \unit[5.6]{k\Ohm}}\\
i \igual \unit[0.89]{mA}.
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
%
\hspace{\stretch{1}}
%
\begin{minipage}[c]{0.38\textwidth}
\resizebox{0.9\textwidth}{!}{\testerideal}
\caption{Circuito considerando el \tester\ ideal}
\label{fig:testerideal}
\end{minipage}
\end{figure}
%
\begin{enumerate}[label=]
\item
\begin{enumerate}[label=]
\item
\begin{eqnarray}
\nonumber V_{\mathrm{AB}} \igual V_{\mathrm{B}} - V_{\mathrm{A}}\\
\nonumber \igual -i R_1\\
\nonumber \igual -\unit[0.89]{mA} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{AB}} \igual -\unit[5]{V}\mbox{,}\\[10pt]
%
\nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -i R_2\\
V_{\mathrm{CD}} \igual -\unit[5]{V}.
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%
\begin{enumerate}[label=]
\item
\begin{enumerate}\setcounter{enumii}{1}
\item%
\begin{eqnarray}
\nonumber V_{\mathrm{AB}} \igual -\frac{V_0}{R_1+R_2} \cdot R_1\\
\nonumber \igual -\frac{\unit[10]{V}}{\unit[560]{k\Ohm}+\unit[560]{k\Ohm}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\nonumber \igual -0.01\frac{\unit{V}}{\unit{k\Ohm}} \unitfrac[0.01]{V}{k\Ohm} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{AB}} \igual -\unit[5]{V}\mbox{,}\\[10pt]
%
\nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -\frac{V_0}{R_1+R_2} \cdot R_2\\
V_{\mathrm{CD}} \igual -\unit[5]{V}.
\end{eqnarray}
\item%
\begin{eqnarray}
\nonumber V_{\mathrm{AB}} \igual -\frac{V_0}{R_1+R_2} \cdot R_1\\
\nonumber \igual -\frac{\unit[10]{V}}{2 \cdot \cancel{\unit[5.6]{M\Ohm}}} \cdot \cancel{\unit[5.6]{M\Ohm}}\\
\nonumber \igual -\frac{\unit[10]{V}}{2}\\
V_{\mathrm{AB}} \igual -\unit[5]{V}\mbox{,}\\[10pt]
%
\nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -\frac{V_0}{R_1+R_2} \cdot R_2\\
V_{\mathrm{CD}} \igual -\unit[5]{V}.
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%
\begin{figure}[hcp]
\begin{minipage}[c]{0.60\textwidth}
\begin{enumerate}[resume]
\item%
%\begin{enumerate}
%\item%
\begin{eqnarray}
i_1-i_2-i_3 \igual 0 \mbox{,}\\[10pt]
%
\nonumber \unit[10]{V} - i_1 R_1 - i_2 R_2 \igual 0\\
i_1 R_1 + i_2 R_2 \igual \unit[10]{V} \mbox{,}\\[10pt]
%
i_2 R_2 - i_3 R_{\mathrm{int}} \igual 0.
\end{eqnarray}
%\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
%
\hspace{\stretch{1}}
%
\begin{minipage}[c]{0.35\textwidth}
\resizebox{0.9\textwidth}{!}{\testerreal}
\caption{Circuito considerando el \tester\ real}
\label{fig:testerreal}
\end{minipage}
\end{figure}
%
\begin{enumerate}[label=]
\item \indent Planteando la matriz asociada:
%\begin{enumerate}[label=]
%\item
\[\begin{array}{rcl}
\left(%
\begin{array}{ccc|c}%
1 & -1\phantom{-} & -1\phantom{-} & 0\\
R_1 & R_2 & 0 & \unit[10]{V}\\
0 & R_2 & -R_{\mathrm{int}} & 0
\end{array} \right) & \xrightarrow{\mbox{\footnotesize triangulando}} & \left(%
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & 0 & \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}}+\unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_1 R_2} \rule{0pt}{1.4em}\\ \rule{0pt}{15pt}
0 & 1 & 0 & \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}}}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_1 R_2} \rule{0pt}{1.4em}\\
0 & 0 & 1 & \frac{\unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_1 R_2} \rule{0pt}{1.4em}\\
\end{array} \right).
\end{array}\]
%
Con lo cual:
%
\begin{eqnarray}
i_1 \igual \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}}+\unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_1 R_2} \mbox{,}\\
i_2 \igual \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}}}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_1 R_2} \mbox{,}\\
i_3 \igual \frac{\unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_1 R_2}.
\end{eqnarray}
%\end{enumerate}
\begin{enumerate}
\item%------------------PUNTO I 5.6k
\newlength{\eqnrule}\setlength{\eqnrule}{0em}%{1.6em}%
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{AB}} \igual -i_1 R_1\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}} + \unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_1 \\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[10]{M\Ohm} + \unit[10]{V} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}}{\left( \unit[5.6]{k\Ohm} + \unit[5.6]{k\Ohm} \right) \unit[10]{M\Ohm} + \unit[5.6]{k\Ohm} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \left(\unit[100]{M\Ohm} + \unit[56]{k\Ohm}\right) }{\unit[11.2]{k\Ohm} \cdot \unit[10]{M\Ohm} + \unit[31.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \left(\unit[100 000]{k\Ohm} + \unit[56]{k\Ohm}\right) }{\unit[11.2]{k\Ohm} \cdot \unit[10 000]{k\Ohm} + \unit[31.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100 056]{k\Ohm} }{\unit[112 000]{{k\Ohm}^2} + \unit[31.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100 056]{k\Ohm} }{\unit[112 031.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[0.89]{\frac{V}{k\Ohm}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{AB}} \igual - \unit[5]{V} \mbox{,}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -i_2 R_2\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}}}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_2 \\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[10]{M\Ohm}}{\unit[112 031.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100]{M\Ohm}}{\unit[112 031.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100 000]{k\Ohm}}{\unit[112 031.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[0.89]{\frac{V}{k\Ohm}} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{CD}} \igual - \unit[5]{V} \mbox{,}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -i_3 R_{\mathrm{int}}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}} + \unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_{\mathrm{int}}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[5.6]{k\Ohm}}{\unit[112 031.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[10]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[56]{k\Ohm}}{\unit[112 031.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[10 000]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[5\cdot10^{-4}]{\frac{V}{k\Ohm}} \cdot \unit[10 000]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{CD}} \igual - \unit[5]{V}.
\end{eqnarray}
%
\item%------------------PUNTO II 560k
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{AB}} \igual -i_1 R_1\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}} + \unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_1 \\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[10]{M\Ohm} + \unit[10]{V} \cdot \unit[560]{k\Ohm}}{\left( \unit[560]{k\Ohm} + \unit[560]{k\Ohm} \right) \unit[10]{M\Ohm} + \unit[560]{k\Ohm} \cdot \unit[560]{k\Ohm}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \left(\unit[100]{M\Ohm} + \unit[5600]{k\Ohm}\right) }{\unit[11.2]{k\Ohm} \cdot \unit[10]{M\Ohm} + \unit[31.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \left(\unit[100 000]{k\Ohm} + \unit[5600]{k\Ohm}\right) }{\unit[1120]{k\Ohm} \cdot \unit[10 000]{k\Ohm} + \unit[31.36]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[105 600]{k\Ohm} }{\unit[112 00000]{{k\Ohm}^2} + \unit[313600]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[105 600]{k\Ohm} }{\unit[11513600]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[9.17\cdot10^{-3}]{\frac{V}{k\Ohm}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{AB}} \igual - \unit[5.14]{V} \mbox{,}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -i_2 R_2\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}}}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_2 \\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[10]{M\Ohm}}{\unit[11513600]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100]{M\Ohm}}{\unit[11513600]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100 000]{k\Ohm}}{\unit[11513600]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[8.69\cdot10^{-3}]{\frac{V}{k\Ohm}} \cdot \unit[560]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{CD}} \igual - \unit[4.86]{V} \mbox{,}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -i_3 R_{\mathrm{int}}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}} + \unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_{\mathrm{int}}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[560]{k\Ohm}}{\unit[11513600]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[10]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[5600]{k\Ohm}}{\unit[11513600]{{k\Ohm}^2}} \cdot \unit[10000]{k\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[4.86\cdot10^{-4}]{\frac{V}{k\Ohm}} \cdot \unit[10 000]{k\Ohm}\\
V_{\mathrm{CD}} \igual - \unit[4.86]{V}.
\end{eqnarray}
%
\item%------------------PUNTO III 5,6M
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{AB}} \igual -i_1 R_1\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}} + \unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_1 \\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[10]{M\Ohm} + \unit[10]{V} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}}{\left( \unit[5.6]{M\Ohm} + \unit[5.6]{M\Ohm} \right) \unit[10]{M\Ohm} + \unit[5.6]{M\Ohm} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \left(\unit[100]{M\Ohm} + \unit[56]{M\Ohm}\right) }{\unit[11.2]{M\Ohm} \cdot \unit[10]{M\Ohm} + \unit[31.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[156]{M\Ohm} }{\unit[112]{{M\Ohm}^2} + \unit[31.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[156]{M\Ohm} }{\unit[143.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[1.09]{\frac{V}{M\Ohm}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
V_{\mathrm{AB}} \igual - \unit[6.09]{V} \mbox{,}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -i_2 R_2\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}}}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_2 \\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[10]{M\Ohm}}{\unit[143.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100]{M\Ohm}}{\unit[143.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[100]{M\Ohm}}{\unit[143.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[0.70]{\frac{V}{M\Ohm}} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}\\
V_{\mathrm{CD}} \igual - \unit[3.91]{V} \mbox{,}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber V_{\mathrm{CD}} \igual -i_3 R_{\mathrm{int}}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} R_{\mathrm{int}} + \unit[10]{V} R_2}{\left( R_1 + R_2 \right) R_{\mathrm{int}} + R_2 R_1} \cdot R_{\mathrm{int}}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[10]{V} \cdot \unit[5.6]{M\Ohm}}{\unit[143.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[10]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \frac{\unit[1]{V} \cdot \unit[56]{M\Ohm}}{\unit[143.36]{{M\Ohm}^2}} \cdot \unit[10]{M\Ohm}\\
\rule{0pt}{\eqnrule} \nonumber \igual - \unit[0.39]{\frac{V}{M\Ohm}} \cdot \unit[10]{M\Ohm}\\
V_{\mathrm{CD}} \igual - \unit[3.91]{V}.
\end{eqnarray}
\end{enumerate}
\end{enumerate}
%\newpage
%\section{Preguntas}
%
%\begin{enumerate}
% \item
%\end{enumerate}
%\subsection{Respuestas}
%
%\begin{enumerate}
% \item
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