====== Examen Parcial - 62.03/04 Física II A/B ======

**Cátedra:** Santiago\\
**Fecha:** 2ª Oportunidad - 1º Cuatrimestre 2006\\
**Día:** 14/07/2006

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Se tiene un esfera conductora de radio <tex>a</tex> cargada con una cantidad de carga <tex>Q_1</tex>. Por fuera de esta esfera, se encuentra una cáscara esférica conductora de radio interior <tex>b</tex> y exterior <tex>c</tex> cargada con una cantidad de carga <tex>Q_2</tex>. En un momento determinado, se cierra la llave <tex>S</tex>. Se pide:
  *El campo eléctrico y el potencial en todo el espacio.
  *Calcular las densidades de carga.

{{:materias:62:03:distribucion_cargas_parcial_20060714.png|:materias:62:03:distribucion_cargas_parcial_20060714.png}}

==== Punto II ====

Encontrar la fuerza sobre la espira que transporta una corriente <tex>I_2</tex>, debido a un cable muy largo paralelo a la espira que transporta una corriente <tex>I_1</tex>.

{{:materias:62:03:espira_parcial_20060714.png|:materias:62:03:espira_parcial_20060714.png}}

==== Punto III ====
Para el circuito de la figura, determinar:
  - Las corrientes en cada rama
  - La carga y la energía almacenada en el capacitor
  - La potencia consumida por las resistencias y la entregada y/o recibida por las pilas, indicando cuáles son generadores y cuáles receptoras.
\\
{{:materias:62:03:circuito_parcial_20060714.png|:materias:62:03:circuito_parcial_20060714.png}}

==== Punto IV ====
(no lo copié ni tampoco me lo acuerdo... disculpas... si alguien lo tiene por favor transcríbalo)

===== Resolución =====

==== Punto I ====

!!!Atención: Punto I en corrección!!! (El procedimiento será corregido)

Cuando se conecta la llave, va haber un movimiento de cargas hacia y desde la tierra a la bola cargada. El conductor 2 está aislado.
<tex>\begin{array}{rcl}
Q_a & = & -Q_b \\
Q_c & = & Q_2+Q_a \\
\end{array}</tex>

Las dendidades son :

<tex>\
\sigma_a=\frac{Q_a} {4 \pi a^2 }\\

\sigma_b=\frac{-Q_a }{ 4 \pi b^2 }\\

\sigma_c=\frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi c^2 }\\
</tex>

**__Cálculo de E:__**

Para  r < a :\\
E = 0\\
Dentro de un conductor el campo es cero.\\

Para\ a< r < b:\\

Aplicando el teorema de Gauss: <tex>\oint_S \!\! \vec{E}\cdot d\vec{S}=Q_t</tex>\\
<tex>E2\pi r=\frac{Q_a }{\varepsilon_0}</tex>\\
Entonces:
<tex>E=\frac{Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 }</tex>\\

Para\ b< r < c:\\
E = 0\\
Dentro de un conductor el campo es cero.\\

Para  r > c :\\
<tex>E2\pi r=\frac{Q_2+Q_a  }{\varepsilon_0}</tex>\\
Entonces:
<tex>E=\frac{Q_2+Q_a  }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 }</tex>\\

Teniendo estas expresiones en funcion de la carga en la superficie a y sabiendo que el potencial y a es cero, ya que está conectado a tierra. Entonces:\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^c \!\!\!\! \vec{E}\cdot d\vec{l}=0</tex>\\
 
<tex>\Delta V=-\int_\infty^c \!\!\!\! \frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 } -\int_b^a \!\!\!\! \frac{Q_a} {4 \pi\varepsilon_0 r^2 }=0 V</tex>\\
<tex>\
Q_a=\frac{Q_2 a b} {cb-ca+ba}\\
</tex>

!!!Atención: Punto I en corrección!!! (El procedimiento será corregido)

**__Cálculo de POTENCIAL:__**

Para  r > c :\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^r \!\!\!\! \vec{E}\cdot d\vec{l}</tex>\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^r \!\!\!\! \frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 }</tex>\\

<tex>\Delta V=\frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r }</tex>\\

Para\ b< r < c:\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^r \!\!\!\! \vec{E}\cdot d\vec{l}</tex>\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^c \!\!\!\! \frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 } -\int_c^r \!\!\!\! 0</tex>\\

<tex>\Delta V=\frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r }</tex>\\

Para\ a< r < b:\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^r \!\!\!\! \vec{E}\cdot d\vec{l}</tex>\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^c \!\!\!\! \frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 } -\int_b^r \!\!\!\! \frac{Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 }</tex>\\

<tex>\Delta V=\frac{-r Q_2 c-(Q_a r + Q_2 r + Q_2 c ) b }{ 4 \pi\varepsilon_0 cb }</tex>\\

Para  r < a :\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^r \!\!\!\! \vec{E}\cdot d\vec{l}</tex>\\

<tex>\Delta V=-\int_\infty^c \!\!\!\! \frac{Q_2+Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 } -\int_b^a \!\!\!\! \frac{Q_a }{ 4 \pi\varepsilon_0 r^2 }</tex>\\

<tex>\Delta V=\frac{b Q_2 c-(-Q_a b + Q_2 c + Q_2 b ) a }{ 4 \pi\varepsilon_0 cba }</tex>\\

!!!Atención: Punto I en corrección!!! (El procedimiento será corregido)

==== Punto II ====

==== Punto III ====
(en proceso)

{{:materias:62:03:circuito_parcial_20060714_resolucion.gif|:materias:62:03:circuito_parcial_20060714_resolucion.gif}}

<!-- NO LO BORREN PORQUE LO VOY A NECESITAR

**Parte 1**\\
Como en una de las corrientes conectadas a tierra hay un capacitor, entonces, en régimen estacionario no circulará corriente por ninguna de ambas ramas.\\

Las **ecuaciones de mallas** dicen:\\
<tex>\begin{array}{ccccccccc}
E_2 & + & I_3R_2 & - & E_3 & + & I_3R_1 & = & 0\\
E_2 & + & I_1R_4 & - & E_1 & + & I_1R_3 & = & 0 \end{array}</tex>\\

De la primera despejamos:\\
<tex>I_3=\frac{E_3-E_2}{R_1+R_2}=\frac{-10V}{5\Omega}\ \rightarrow\ I_3=-2A</tex>\\

De la segunda:\\
<tex>I_1=\frac{E_1-E_2}{R_3+R_4}=\frac{-15V}{5\Omega}\ \rightarrow\ I_1=-3A</tex>\\

Entonces la **ecuación de nodos** dice: <tex>I_2=I_1+I_3</tex>\\
Por lo tanto <tex>I_2=-5A</tex>

Es decir que los sentidos de las corrientes están alrevés.\\

**Parte 2**\\
<tex>Q=|V_2-V_1|C</tex> y el signo de <tex>V_2-V_1</tex> me dará la polaridad.\\

<tex>V_2-V_1=I_1R_3-I_3R_1-E_4=-9V+6V-12V=-15V</tex>\\

Por lo que: <tex>=Q=15V\cdot 1\mu F=15\mu C</tex>.\\

Y por lo tanto la carga positiva está "en el lado contrario a la tierra".\\

**Parte 3**\\
La potencia consumida en las ersistencias se calcula:\\
<tex>P_R=RI^2\rightarrow\left\{\begin{array}{ccccccc}
P_{R1} & = & R_1I_3^2 & = & 12 W \\
P_{R2} & = & R_2I_3^2 & = & 8 W \\
P_{R3} & = & R_3I_1^2 & = & 27 W \\
P_{R4} & = & R_4I_1^2 & = & 18 W \\
P_{R5} & = & 0 &  &  \\
P_{R6} & = & 0 &  &  \end{array}\right.
</tex>\\

La potencia en las fuentes se cálcula con la corriente en el sentido de la fem y luego el signo me dice si es recibida o entregada.\\
<tex>P_E=EI\rightarrow\left\{\begin{array}{cccccccc}
P_{E1} & = & E_1I_1 & = & -30 W & \mbox{    consumida}\\
P_{E2} & = & E_2(-I_2) & = & 125 W & \mbox{    entregada}\\
P_{E3} & = & E_3I_3 & = & -30 W & \mbox{    consumida}\\
P_{E4} & = & 0 &  & &\end{array}\right.
</tex>\\

Vemos que se cumple el balance de energías pues si sumamos toda la potencia entregada por las fuentes <tex>\sum P_E=65W</tex> nos da igual que la potencia consumida en las resistencias <tex>\sum P_R=65W</tex>.\\

-->

==== Punto IV ====

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>