====== Examen Parcial - 61.12. Análisis Matemático III B ====== **Cátedra:** González\\ **Fecha:** Tercera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2005\\ **Día:** 05/07/2005 Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== **a)** ¿Es derivable f(z)=\sqrt{|Re(z)Im(z)|}+i|z|^2 en z=0 ?. ¿Por qué?\\ **b)** Probar que la función e^{\cos{x}Chy}\cos(senxShy) es armónica y dar su conjugada armónica. (Sug.: considerar \exp{( \cos{z} )} ).\\ **c)** Sea T(z)=\frac{z}{1+|z|} . Demostrar que T(\mathcal{C})\subset B(0,1). ¿Existe z tal que |T(z)|=1 ?. Analizar en qué son transformados los ejes cartesianos al aplicar T. ==== Punto II ==== **a)** Sabiendo que la serie \sum_{n=0}^\infty a_n(z-i)^n tiene radio de convergencia igual a 2, decir si es posible, si converge o no en los puntos z_1=1+2i,\, z_2=2+i,\, z_3=2+3i.\\ **b)** Sea \Omega abierto y conexo en \mathcal{C} y f holomorfa en \Omega con |f(z)| \leq M\, \forall z\in\Omega . Probar que |f^{(n)}(z_0)|\leq\frac{n!}{r^n}M \quad \forall z_0\in\mathcal{C},\forall r: B_r(z_0)\subset\Omega .\\ **c)** Para f(z)=\frac{z-1}{z^2-2z-3} . determinar cuántos desarrollos distintos en potencias de z-2 admite y en qué región del plano tiene validez cada uno de ellos. Hallar el desarrollo que converge en z=0 .\\ ==== Punto III ==== **a)** Clasificar en \widehat{\mathcal{C}} las singularidades de f(z)=\frac{senz^2}{(senz)^2} .\\ **b)** Si z=0 es polo de orden m de f(z) , hallar \mathrm{Res}[\mathrm{sen}(z)\frac{f'(z)}{f(z)},z=0].\\ **c)** Calcular \int_{|z|=2\pi+\pi/2} \frac{\cos{z}}{\mathrm{sen}z}dz ¿Y si se integra la misma función sobre la curva \gamma_k: |z|=k\pi+\pi/2\, k\in\mathcal{N} ?. ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== == Parte a == f(x+iy)=|xy|^{1/2}+i(x^2+y^2) \quad u(x,y)=|xy|^{1/2} \quad v(x,y)=x^2+y^2\\ u_x(0,0)=z\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(h,0)-u(0,0)}{h}=0 \\ u_y(0,0)=z\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(0,h)-u(0,0)}{h}=0 \\ v_x=2x \quad v_y=2y \\ Las condiciones de Cauchy-Riemann se cumplen, pero no puedo afirmar nada sin asegurarme la diferenciabilidad de u. Por definición u es diferenciable si existe el límite:\\ \lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{|u(x,y)-u(0,0)+x\cdot u_x(0,0)+y\cdot u_y(0,0)|}{\sqrt{x^2+y^2}}=\lim_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\frac{\sqrt{|xy|}}{\sqrt{x^2+y^2}} Para evaluar si existe este límite elijo un camino arbitrario y=ax para acercarme al límite, y si el límite depende de a entonces, el límite no existe.\\ \lim_{x\rightarrow 0} \sqrt{\frac{ax^2}{x^2+ax^2}}=\sqrt{\frac{a}{a^2+1}} que depende de a, entonces: no existe el límite doble y u no es diferenciable en (0,0).\\ Por lo tanto no podemos usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en ese punto. Entonces hay que calcular la derivada por definición:\\ \lim_{h\to 0} \frac{f(h)-f(0)}{h}= \mathop{\lim_{h_1\to 0}}_{h_2\to 0} \frac{ |h_1h_2|^{1/2}+i \left( h_1^2+h_2^2 \right) }{h_1+ih_2} \\ Para demostrar que este límite no existe usaremos la misma técnica que antes. Haremos que h_2=kh_1 entonces:\\ \lim_{h_1\to 0} \left[ \frac{|k|^{1/2}|h_1|}{(1+ki)h_1} + i \underbrace{\left( \frac{1+k^2}{1+ki} \right) h_1}_{\rightarrow 0} \right] Pero este límite no existe pues: \\ \left\{ \begin{array}{lccc} \displaystyle\lim_{h_1\to 0^+} & (...) & = & \displaystyle\frac{|k|^{1/2}}{1+ki} \\ \displaystyle\lim_{h_1\to 0^-} & (...) & = & \displaystyle\frac{-|k|^{1/2}}{1+ki} \end{array} \right\} \Rightarrow \not\exists f'(0) \\ Entonces f no es derivable en 0. ==Parte b== Sea u(x,y)=e^{\cos{x}Chy}\cos(senxShy) .\\ Consideremos f(z)=e^{\cos{z}}. Desarrollando \cos{z}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=Chy\cos{x}-i\, Shy\, senx\\ Entonces: f(z)=e^{Chy\cos{x}-i\, Shy\, senx}=e^{Chy\cos{x}} \left[ \cos{(Shy\, senx)} -i\,sen (Shy\, senx) \right] \\ Se observa entonces que u(x,y)=\mathrm{Re}[f(x+iy)] . Además f es enter por ser composición de funciones enteras. Por lo tanto se puede afirmar que u es armónica \forall z\in\mathcal{C}.\\ La conjugada armónica será entonces la parte imaginaria, es decir: v(x,y)=-e^{\cos{x}Chy}sen(senxShy) es conjugada armónica. == Parte c == T(z)=\frac{z}{1+|z|} Si z=\rho e^{i\theta}, entonces: \omega=T(z)=\frac{\rho e^{i\theta}}{1+\rho}\Rightarrow |\omega|=\frac{\rho}{1+\rho} que es siempre menor que 1. Entonces \forall z\in\mathcal{C}\, T(z)\in B(0,1) Además no existe ningún z:|T(z)|=1 pues \frac{\rho}{1+\rho}\neq 1\forall \rho >0. Por último el eje real se transforma según: T(x)=\frac{x}{1+|x|} Entonces se transforma en el segmento (-1,1) del plano uv. El eje imaginario T(ix)=\frac{ix}{1+|x|}, es decir que se transforma en el segmento (-i,i) del plano uv. ==== Punto II ==== == Parte a == El teorema del Radio de Convergencia nos dice que si una serie de potencias \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n tiene radio de convergencia igual a R , entonces \forall z:|z-z_0|>R la serie diverge y que \forall z:|z-z_0| la serie converge absoluta y uniformemente a una función holomorfa. Si |z-z_0|=R no puedo asegurar la convergencia ni la divergencia en z En este caso z_0=i \quad R=2 \quad z_1=1+2i \quad z_2=2+1 \quad z_3=2+3i, entonces:\\ |z_1-z_0|=|1+i|=\sqrt{2}<2\Rightarrow\mbox{Converge}\\ |z_2-z_0|=|2|=2\Rightarrow\mbox{No se puede predecir}\\ |z_3-z_0|=|2+2i|=\sqrt{8}>2\Rightarrow\mbox{No Converge}\\ == Parte b == Sea r: B_r(z_0)\subset\Omega Como f es holomorfa en \Omega abiero y conexo vale la fórmula integral de Cauchy:\\ f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\int_{B_r(z_0)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz Aplicando módulos: \left| f^{(n)}(z_0) \right| = \frac{n!}{2\pi r^{n+1}} \left| \int_{B_r(z_0)}f(z)dz \right| Ahora aplicando la desigualdad ML: \left| f^{(n)}(z_0) \right| \leq \frac{n!}{2\pi r^{n+1}}M2\pi r=\frac{n!M}{r^n} == Parte c == f(z)=\frac{z-1}{z^2-2z-3}=\frac{z-1}{(z+1)(z-3)}\\ Tiene 2 polos simples (en 3 y en -1), por lo tanto si lo queremos desarrollar alrededor de z=2 tendrá tres desarroollos en series de Laurent, uno en cada corona circular de centro z=2 que no toque las singularidades. Si me piden el que converge en z=0 , me están pidiendo el que converge en 2<|z-2|<3 .\\ Haciendo fracciones simples llegamos a: f(z)=\frac{1/2}{z+1}+\frac{1/2}{z-3} . Entonces puedo sacar la serie que converge a cada término y la función convergerá en la intersección de las regiones de convergencia.\\ f(z)=\frac{1}{z+1}=\frac{1}{z-2+3}=\frac{1}{3(1+\frac{z-2}{3})}=\frac{1}{3}\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\left( \frac{z-2}{3} \right)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{(z-2)^k}{3^{k+1}} que converge cuando |z-2|<3 f(z)=\frac{1}{z-3}=\frac{1}{z-2-1}=\frac{1}{(z-2) \left( 1-\frac{1}{z-2} \right) }=(z-2)^{-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(z-2)^k}=\sum_{k=0}^\infty (z-2)^{-k-1} que converge cuando |z-2|>1\\ f(z)=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{(z-2)^k}{2\cdot 3^{k+1}}+\sum_{k=0}^\infty \frac{(z-2)^{-k-1}}{2}\\ Para escribir la serie de Laurent consideramos entonces: f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n(z-2)^n con\\ a_n= \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2} & n<0 \\ \frac{(-1)^n}{2\cdot 3^{k+1}} & k\geq 0 \end{array} \right. ==== Punto III ==== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.