====== Apunte Teórico de Análisis Matemático III B ====== Este apunte es para el curso de Gonzalez. (Turno de la mañana) ===== Unidad 1 ===== ==== Sucesiones ==== **Definición:** Límite de una sucesión. Sea z:\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{C} \\ Diremos que z_n\rightarrow{z} (o converge) sii \forall\,\varepsilon>0\,\,\exists n_0\!\!=\!n_0(\varepsilon)\,\mbox{:}\, |z_n-z|<\varepsilon \quad \forall n\geq n_0 \\ Si no converge diremos que diverge. **Propiedades:** Sea z_n=x_n+iy_n \quad z=x+iy - z_n\rightarrow{z} \Leftrightarrow x_n\rightarrow{x}\,\mbox{y}\,y_n\rightarrow{y} - Si z_n\rightarrow{z}\,\mbox{y}\,w_n\rightarrow{w} * (z_n+w_n)\rightarrow (z+w) * (z_n\cdot w_n)\rightarrow (z\cdot{w}) * \frac{z_n}{w_n}\rightarrow \frac{z}{w} * \overline{z_n}\rightarrow{\overline{z}} **Definición:** z_n\subset\mathcal{C} es **acotada** sii \exists M\,\mbox{:}\,|z_n| **Proposición:** z_n\mbox{ es convergente }\Rightarrow z_n\mbox{ es acotada.} ==== Funciones ==== **Definiciones:** - Entornos en \mathcal{C} . Sea z\in\hat{\mathcal{C}}=\mathcal{C}\cup \{ \infty \} Se definen: * B_r(z)\equiv\left\{ \begin{array}{lcl} \{ w\in\mathcal{C}\,\mbox{:}\, |z-w| * B_r^*(z)\equiv\left\{ \begin{array}{lcl} \{ w\in\mathcal{C}\,\mbox{:}\, 0<|z-w| - Límite de una función: Sean z_0\in\hat{\mathcal{C}}\mbox{ y }l\in\hat{\mathcal{C}} . Diremos que la función converge, o que \lim_{z\rightarrow{z_0}}f(z)=l sii \forall \varepsilon>0 \exists\delta(\varepsilon)>0\,\mbox{:}\, f(z)\in B_{\varepsilon}(l) \forall z\in B_{\delta}^*(z_0) **Propiedades:** Sean a,z_0\in\mathcal{C} - \lim_{z\rightarrow\infty}f(z)=a \Leftrightarrow \lim_{z\rightarrow 0}f \left(\frac{1}{z}\right) =a - \lim_{z\rightarrow z_0}f(z)=\infty \Leftrightarrow \lim_{z\rightarrow z_0} \frac{1}{f(z)} =0 - \lim_{z\rightarrow\infty}f(z)=\infty \Leftrightarrow \lim_{z\rightarrow 0} \frac{1}{f \left(\frac{1}{z}\right)} =0 ==== Continuidad ==== **Definición:** f es continua en z_0 sii \lim_{z\rightarrow z_0}f(z)=f(z_0) **Propiedades:** Sea f(z)=u(z)+i\cdot v(z): - f\mbox{ es continua en }z_0 \Leftrightarrow u\mbox{ y }v\mbox{ son continuas en }z_0 - f\mbox{ y }g\mbox{ continuas en }z_0 \Rightarrow (f+g),(f\cdot g),(f/g)\mbox{ continuas en }z_0 - f\mbox{ continua en }z_0\mbox{ y }g\mbox{ continua en }f(z_0)\Rightarrow g\circ f\mbox{ es continua en }z_0 **Definiciones:** * A\subset\mathcal{C}\mbox{ es abierto sii }\forall z\in A \exists r\,\mbox{:}\,B_r(z)\subset A * f\mbox{ es continua en }A\mbox{ abierto sii }f\mbox{ es continua en }z\,\forall z\in A ==== Derivabilidad ==== **Definición:** Sea f:A\subset\mathcal{C}\rightarrow{C},\,a\in{A} \\ f\mbox{ es derivable en }a\mbox{ sii }\exists \lim_{h\rightarrow{0}}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'(a) **Proposición:**\\ f\mbox{ es derivable en }z_0\Rightarrow f\mbox{ continua en }z_0 **D)** f(a+h)-f(a)=\left[ \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \right]\cdot h \Rightarrow \lim_{h\rightarrow 0}f(a+h)-f(a)=0 **Definiciones:**\\ - a\in\mathcal{C}\, V\mbox{ es entorno de }A\mbox{ sii }a\in V\mbox{ y }V\mbox{ es abierto} - f\mbox{ es holomorfa en }a\mbox{ sii }f\mbox{ es derivable en un entorno de }a - f\mbox{ es holomorfa en }A\mbox{ abierto sii }f\mbox{ es holomorfa en }z\,\forall z\in A - f\mbox{ es derivable(holomorfa) en }\infty\mbox{ sii }f \left( \frac{1}{z} \right) \mbox{ es derivable (holomorfa) en }0 **Teorema de Cauchy-Riemann:** Sea f(x+iy)=u(x,y)+i\cdot v(x,y): Si f es derivable en z_0=x_0+i\cdot y_0 \,\Rightarrow\exists u_x,v_x,u_y,v_y que verifican \left\{ \begin{array}{rcl} u_x & = & v_y \\ u_y & = & -v_x \end{array}\right. en (x_0,y_0), y además f'(z_0)=u_x+i\cdot v_x **D)** \exists\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\lim_{h\in\mathcal{R}} \frac{u(x_0+h,y_0)-u(x_0,y_0)}{h}+i\cdot\lim_{h\in\mathcal{R}} \frac{v(x_0+h,y_0)-v(x_0,y_0)}{h}=u_x(x_0,y_0)+i\cdot v_x(x_0,y_0) \quad \dots **Observación:** - La recíproca del teorema se cumple si u\mbox{ y }v\mbox{ son diferenciables en }(x_0,y_0) - Si z=\rho e^{i\cdot\theta} podemos escribir: f(z)=u(\rho,\theta)+i\cdot v(\rho,\theta). Entonces podemos escribir las ecuaciones de Cauchy-Riemann como: \left\{ \begin{array}{rcl} u_\rho & = & \frac{1}{\rho}v_\theta \\ u_\theta & = & -\rho v_\rho \end{array}\right. **D)**u_\rho=u_x\cdot x_\rho + u_y\cdot y_\rho = u_x\cos{\theta}+u_y\mathrm{sen}\theta \dots ==== Conexidad ==== - D\subset\mathcal{C}\mbox{ es conexo sii no }\exists A\mbox{ y }B\mbox{ abiertos, tales que }D=A\cup{B}, A\cap{B}=\oslash ,A\neq\oslash ,B\neq\oslash - D\subset\mathcal{C}\mbox{ es conexo por arcos sii }\forall z_1,z_2\in{D}\exists\mbox{un arco }\gamma\subset{D}\mbox{ que los une.} - D\subset\mathcal{C}\mbox{ es conexo por poligonales sii }\forall z_1,z_2\in{D}\exists\mbox{una poligonal }\gamma\subset{D}\mbox{ que los une.} - D\subset\mathcal{C}\mbox{ es conexo por poligonales paralelos a los ejes sii }\forall z_1,z_2\in{D}\exists\mbox{una poligonal de comp. paralelas a los ejes }\gamma\subset{D}\mbox{ que los une.} **Observación:** Si un conjunto es abierto las cuatro definiciones anteriores son equivalentes. Por lo tanto cuando se diga abierto y conexo se puede referir a cualquiera de las cuatro definiciones anteriores. **Proposición:** Sea f holomorfa en D abierto y conexo. Entonces: - f'\equiv 0 \Longrightarrow f\equiv\mbox{cte} - \mathrm{Re}(f)\equiv\mbox{cte} \Longrightarrow f\equiv\mbox{cte} - \mathrm{Im}(f)\equiv\mbox{cte} \Longrightarrow f\equiv\mbox{cte} - |f|\equiv\mbox{cte} \Longrightarrow f\equiv\mbox{cte} - \mathrm{Arg}(f)\equiv\mbox{cte} \Longrightarrow f\equiv\mbox{cte} **D)**(del item 1) f'=u_x+i\cdot v_x\Rightarrow u_x(x_0,y_0)=0\Rightarrow u(x_0+h,y_0)-u(x_0,y_0)=u_x(\psi,y_0)h=0 Entonces: u(x_0+h,y_0)=u(x_0,y_0) Se puede demostrar lo mismo para la segunda coordenada y para v . Por lo tanto, usando el camino por poligonales, se demuestra que para cualquier par de puntos a,b\in D\Longrightarrow f(a)=f(b). ===== Unidad 2 ===== ==== Funciones elementales ==== Se definen las siguientes funciones elementales:\\ * **Función exponencial** \mathrm{exp}(z)\equiv{e^x}(\cos{y}+\mathrm{sen}{y})\mbox{ siendo }z=(x+iy)\in\mathcal{C},(x,y)\in\mathcal{R}^2 \\ Con esta definición se cumple \mathrm{exp}(z)=\mathrm{exp}(z+2\pi\,i) Se usará también e^z=\mathrm{exp}(z) * **Funciones trigonométricas** \cos{z}\equiv\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} , y \mathrm{sen}\,{z}\equiv\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} * **Funciones hiperbólicas** \mathrm{ch}\,z\equiv\frac{e^z+e^{-z}}{2} , y \mathrm{sh}\,z=\equiv\frac{e^z-e^{-z}}{2} * **Función logarítmica** \log{z}\equiv\ln{|z|}+i\arg{z} Es una función multiforme, pues la función //argumento// devuelve infinitos valores para el mismo número complejo.\\ **Definición:** Dada una función multiforme F definida en D\subset\mathcal{C} , una **rama** es una función (uniforme) f:D_f\rightarrow\mathcal{C} holomorfa en D_f y f(z)=F(z)\forall z\in D_f \\ Por lo tanto si uno toma una rama de la función argumento, está tomando una rama del logaritmo. Si uno elige el argumento principal, está eligiendo la **rama principal** del logaritmo.\\ * **Potencia compleja** z^c\equiv\exp{(c\cdot\log{z})} que también es una función multiforme. ==== Transformaciones del plano: Homografía ==== Una homografía es una función T(z)=\frac{a\,z+b}{c\,z+d}\,a,b,c,d\in\mathcal{C}.\\ Cumplen la propiedad de ser composición de transformaciones elementales. Transforma rectas y circinferencias en rectas o circunferencias.\\ **Teorema** Dados z_1,z_2,z_3\in\mathcal{C}\,\psi_1,\psi_2,\psi_3\in\mathcal{C} , existe una única homografía tal que T(z_i)=\psi_i \quad i=1,2,3 y se cumple que \psi=T(z) con:\\ \frac{(\psi-\psi_1)(\psi_2-\psi_3)}{(\psi-\psi_2)(\psi_1-\psi_3)}=\frac{(z-z_1)(z_2-z_3)}{(z-z_2)(z_1-z_3)} **Definición:** Se dice que una transformación es conforme en z_0 si para todo par de curvas que se intersecan en z_0 conserva el ángulo entre ellas (tanto en magnitud como en sentido). **Observación:** Si f'(z_0)\neq 0 \Rightarrow f es conforme en z_0 . La vuelta sólo es válida si f es derivable en z_0 . ===== Unidad 3 ===== ==== Integración ==== **Definición: Integral compleja de variable real** Sea f:[a,b]\subset\mathcal{R}\rightarrow\mathcal{C} se define: \int_a^b f(t)dt\equiv\int_a^b u(t)dt + i\cdot\int_a^b v(t)dt\\ * Una curva de \mathcal{C} es un conjunto \Gamma=\{ z\in\mathcal{C}:z(t)=x(t)+iy(t),t\in[a,b]\subset\mathcal{R},x,y\mbox{ cont. en }[a,b]\}. Se denomina z(a)=\alpha \quad z(b)=\beta puntos inicial y final de la curva respectivamente. La curva \Gamma^-:w(t)=z(a+b-t) se denomina curva inversa.\\ * Una curva se denomina cerrada sii z(a)=z(b) . Se denomina simple sii z(t_1)\neq z(t_2)\forall t_1,t_2\in(a,b)\\ * Si x(t),y(t)\in\mathcal{C}_{[a,b]}^1 se dice que \Gamma es curva diferenciable (o arco diferenciable).\\ * Si existe una partición a=t_0 tal que \Gamma_{[t_i,t_{i+1}]} (i=0,...n-1) es curva diferenciable., se dice que \Gamma es una curva diferenciable a tramos o contorno.\\ **Definición: Integración de una función compleja.** - Sea \Gamma : z(t)=x(t)+i\,y(t),a\leq t\leq b curva diferenciable, f continua sobre \Gamma , se define: \int_{\Gamma}\!\!\!\! f(z)dz=\int_a^b\!\!\!\! f \left( z(t) \right) z'(t) dt - Sea \Gamma diferenciable a trozos, entonces \int_{\Gamma}\!\!\!\! f(z)dz = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{\Gamma_i} \!\!\!\! f(z)dz \quad \Gamma_i=\Gamma_{[t_i,t_{i+1}]} **Fórmula de mayoración:** Sea f continua sobre \Gamma (contorno) y | f(z) | \leq M\,\forall z\in\Gamma , entonces: \left| \int_\Gamma f(z)dz \right| \leq ML donde L es la longitud de la curva. **D)** |I|= \left| \int_\Gamma f(z)dz \right| = \left| \int_a^b f(z(t))z'(t)dt \right| \leq \int_a^b \left| f(z(t))z'(t) \right| dt \\ |I| \leq \int_a^b |f(z(t))|\cdot |z'(t)| dt \leq M \int_a^b |z'(t)| dt \\ **Definición:** Sea f holomorfa en \Omega . Una función F holomorfa en \Omega es una primitiva de f sii F'(z)=f(z)\,\forall z\in\mathcal{C} .\\ **Prop:** Dos primitivas de una misma f sobre un dominio \Omega difieren en una constante. **D)** Supongamos que F y G son primitivas de f \quad \Rightarrow F'(z)=f(z)=G'(z) \Rightarrow F'(z)=G'(z) \Rightarrow (F-G)'(z)=0 \mbox{ en }\Omega \Rightarrow F-G\equiv cte\\ **Teorema:** (Regla de Barrow generalizada) Sea F primitiva de f en \Omega (dominio) y \Gamma un controno de \Omega con punto inicial z_1 y punto final z_2 . Entonces: \int_{\Gamma} f(z)dz=F(z_2)-F(z_1) .\\ **D)** Sea \Gamma : z(t), t\in [ \alpha ,\beta ], z(\alpha)=z_1, z(\beta)=z_2 \alpha=t_0 \int_{\Gamma} f(z)dz = \int_{\alpha}^{\beta} f(z(t))z'(t)dt =\sum_{i=1}^n \underbrace{\int_{t_{i-1}}^{t_i} f(z(t))z'(t)dt}_{I_i} I_i=\int_{t_{i-1}}^{t_i} \frac{dF}{dt}(z(t))z'(t)dt=F(z(t_i))-F(z(t_{i-1})) ... **Definición:** Un dominio \Omega se dice simplemente conexo si todo contorno simple cerrado contenido en \Omega tiene en su interior sólo puntos de \Omega . **Teorema de Cauchy-Goursat** Sea \Omega abierto y conexo con \partial \Omega (curva) cerrada. Si f es holomorfa en \Omega y continua sobre \partial\Omega , entonces \int_{\partial\Omega}f(z)dz=0 . **D)** f=u+iv \quad \partial\Omega : z(t), t\in [ \alpha,\beta ] Entonces: I=\int_{\partial\Omega} f(z)dz=\int_{\alpha}^{\beta} \left[ u(x(t),y(t))+i\,v(x(t),y(t)) \right] \left( x'(t)+i\,y'(t) \right) dt= \int_{\alpha}^{\beta} \left[ u\,x'(t)-v\,y'(t) \right] dt + i \int_{\alpha}^{\beta} \left[ v\,x'(t)+u\,y'(t) \right] dt=\int_{\alpha}^{\beta} \left( udx-vdy \right)+i \int_{\alpha}^{\beta} \left( vdx+udy \right)=\int\!\!\!\!\int_{\Omega} (-v_x-u_y)dxdy+i \int\!\!\!\!\int_{\Omega} (u_x-v_y)dxdy =0 \\ En la penúltima igualdad se usó el Teorema de Green y en la última el de Cauchy-Riemann.