Analisis III Primer recuperatorio - 17 de junio de 2014


1. Analizar convergencia y calcular la integral <tex>\int_{-\infty}^{\infty} \frac{sin(x)}{(9x+x^3)} \, dx </tex>

2. Resolver la ecuación del calor en estado estacionario en el recinto <tex>{(x,t) \in {\rm I\!R} ^2 : [0,\pi] \times [0,1]}</tex> con las condiciones de contorno del pizarrón.


<tex>\phi(0,t)=0 </tex>
<tex>\phi(\pi,t)=0 </tex> 
<tex>\phi(x,1)=sin(2x)</tex>   
<tex>\phi(x,0)=0  </tex>


3. a) Hallar el desarrollo de Laurent en potencias de <tex>(z+2)</tex>: <tex> \sum_{-\infty}^{\infty} C_n (z+2)^n </tex>  de la función <tex>f(z)= \frac{1}{1-z}- sinh\frac{\pi}{z+2}</tex>, de manera que la serie <tex> \sum_{-\infty}^{\infty} |C_n| </tex> converja y calcular su suma. Dar el dominio de convergencia de dicho desarrollo.
b) ¿Qué tipo de singularidad tiene la función <tex>f(z)</tex> en <tex>z=-2</tex> y cuánto vale su residuo?

4. Hallar el desarrollo de Fourier de 
<tex>f(z) =
\left\{ \begin{array}{ll}
0 & \mbox{si }  -\pi < t < 0 \\
t^2 & \mbox{si }  0 \leq t < \pi
\end{array} \right. </tex>

Analizar la convergencia puntual <tex>\forall t</tex> y calcular la suma <tex>\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{1}{n^2}  </tex>

5. a) Es posible que la función <tex>h(x) = e^{x^2 - y^2} sin(2xy)- \frac{y}{x^2 - y^2} </tex> sea la parte real de una función analítica <tex>\psi(z) = \zeta(z) + \phi(z) </tex>? Justificar adecuadamente. b) Calcular <tex>\oint_{|z-i|=2} \frac{\psi(z)}{(z^2 +4)}dz </tex>

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