====== Primer Parcial 24/10/2006 - Cátedra Isaacson ======

<note important>
Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material.
</note>

===== Enunciado =====

  - Utilizar la fórmula integral de Cauchy, para demostrar que:\\ <tex>\int_0^{2\pi} \sin^2(\pi/2 + 3e^{it}) \, dt = 2\pi</tex> y <tex>\int_0^{2\pi} \cos^2(\pi/2 + 3e^{it}) \, dt = 0</tex>
  - Dada <tex>f(z) = \frac{e^z - 1 -z}{z^n}</tex>, <tex>n \in \mathbf Z</tex>, determinar:
    - Para qué valores de <tex>n</tex>, la serie de Laurent de <tex>f(z)</tex> tiene sólo términos de exponente no negativo y dar el radio de convergencia.
    - Para qué valores de <tex>n</tex>, <tex>z=0</tex> es polo de <tex>f(z)</tex> de orden <tex>k</tex>. Hallar en ese caso la serie de Laurent en un entonrno de <tex>z=0</tex>.
    - Analizar el comportamiento de <tex>f(z)</tex> en infinito y hallar, si existe, su correspondiente expansión en serie.
  - Hallar el desarrollo de Laurent de <tex>f(z)=\frac{\log(z)}{z+1}</tex>, válido en <tex>o<|z+1|<r</tex>, considerando la determinación de <tex>\log(z)</tex> tal que <tex>\log(-1)=i\pi</tex>, definida en <tex>\mathbf C-\{z=x,x\geq0\}</tex>. Determinar <tex>r</tex> y <tex>Res[f(z), z=-1]</tex>.
  - Hallar <tex>f(z)</tex> holomorfa salvo en <tex>z=1 \mbox{ y } z=4</tex> donde tenga polos simples, tal que <tex>Res[f(z), z=4]=-1</tex>, tenga un cero de orden uno en infinito y <tex>\int_{|z|=5} f(z)\, dz=8i</tex>.
  - Analizar convergencia y calcular <tex>\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos \alpha x}{1+e^x}\, dx</tex>.

===== Resolución =====


==== Punto I ====

La clave de este ejercicio es darse cuenta que la integral ya está parametrizada. Para poder usar la Fórmula Integral de Cauchy hay que desparametrizar.\\

La parametrización es: <tex>z=3e^{it}</tex>. Con lo cual, <tex>dz=3ie^{it}dt</tex> y <tex>dt=\frac{dz}{iz}</tex>.\\

La primer integral ahora es\\

<tex>\oint_{|z|=3} \frac{\sin^2(\pi/2 + z)}{iz} \, dz = \frac{1}{i} \oint_{|z|=3} \frac{\sin^2(\pi/2 + z)}{z} \, dz</tex>.\\

Como <tex>f(z)=\sin^2 (\pi/2 + z)</tex> es análitica sobre y en el interior de <tex>|z|=3</tex>, por la Fórmula Integral de Cauchy:\\

<tex>\frac{1}{i} \oint_{|z|=3} \frac{\sin^2(\pi/2 + z)}{z} \, dz = \frac{1}{i}2 \pi i f(0) = 2\pi \sin^2(\pi/2 +0) = 2\pi</tex>.\\

De la misma forma, para la otra integral se tiene:

<tex> \int_0^{2\pi} \cos^2(\pi/2 + 3e^{it}) \, dt = \frac{1}{i} \oint_{|z|=3} \frac{cos^2(\pi/2 + z)}{z} \, dz = \frac {1}{i} 2\pi i cos^2 (\pi/2 + 0) = 0</tex>.\\

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>