====== Examen (Parcial) - 61.10. Analisis Matemático III A ======
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**Cátedra:** Isaacson\\
**Fecha:** 22/06/06 3° Fecha - (1° Cuatrimestre 2006\\

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===== Enunciado =====

  -Sea <tex>f(z) </tex> analítica en <tex>C - \{0\} </tex> tal que  <tex> \lim_{|z|\rightarrow\infty}|f(z)|=0</tex>. Mostrar que la serie de Laurent de <tex>f(z)</tex> alrededor de <tex>z=0</tex> solo tienen términos con potencias de <tex> z </tex> negativas.
  -Si <tex>f(z)=(z-a) \sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}(z-a)^{n}</tex> y <tex>g(z) </tex> es analítica salvo en <tex>z=0</tex> donde tienen un polo simple con residuo <tex>-5/3</tex>, analizar qué tipo de singularidad es <tex>z=a</tex> para <tex>g(f(z)) </tex> y hallar <tex>\mbox{Res}[g(f(z)),z=a]</tex>
  -Transformar la región <tex>R=\{x,y/1 \leq x \leq 2 ;0\leq y \leq \pi \}</tex> a tra vez de la función <tex>f(z)=e^{z}</tex>
  -Sea la función <tex>f(z)=\frac{1}{z^{2}\sinh{(z)}}</tex> .
     -Clasificar la singularidad en el origen.
     -Calcular la integral <tex>\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2\sinh{(z)}}</tex>


===== Resolución =====

==== Punto I ====

Si f(z) es analitica para |z|>0 entonces en el entorno de z=0 f(z) se puede escribir como:
<tex>F(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z)^{n}+ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{(z)^{n}}</tex>
Si tomo el módulo a cada lado de la igualdad:
<tex>|f(z)|=|(a_0+ a_1z+ a_2z^{2}+ .\ .\ .)+(\frac{b}{z}+\frac{b_1}{z}+\frac{b_2}{z^{2}+ . \  .\  .})|</tex>
Por la desigualdad de :
<tex>|f(z)|=(|a_0|+ |a_1||z|+| a_2||z^{2}|+ .\ .\ .)+(\frac{|b|}{|z|}+\frac{|b_1|}{|z|}+\frac{|b_2|}{|z^{2}|}+ . \  .\  .)</tex>
<tex>\lim_{|z| \rightarrow\infty} |f(z)|=( \lim_{|z| \rightarrow\infty} |a_0|+\lim_{|z| \rightarrow\infty}  |a_1||z|+\lim_{|z| \rightarrow\infty} | a_2||z^{2}|+ .\ .\ .)+( \lim_{|z| \rightarrow\infty} \frac{|b|}{|z|}+\lim_{|z| \rightarrow\infty} \frac{|b_1|}{|z|}+\lim_{|z| \rightarrow\infty} \frac{|b_2|}{|z^{2}|}+ . \  .\  .)</tex>

Todos los terminos de potencias negativas tienden a cero cuando z se acerca al infinito.
Para que la condicion inicial de <tex>\lim_{|z|\rightarrow\infty}|f(z)|=0</tex> se cumpla entonces se debe cumplir que los <tex>|a_n|=0</tex>.

La ecuación inicial se puede escribir:
<tex>F(z)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{b_n}{(z)^{n}}</tex>

==== Punto II ====

Escribo a <tex>g(z) </tex> como <tex>g(z)=\frac{-5/3}{z}+h(z)\mbox{     (h(z) no tiene singularidades en z=0)} </tex>.
<tex>f(z)=(2(z-a)+2(z-a)^{2}+\frac{4(z-a)^{3}}{3}+\cdots)</tex>

<tex>\frac{\frac{-5}{3}}{(2(z-a)+2(z-a)^{2}+\frac{4(z-a)^{3}}{3}+\cdots)}=\frac{-5}{6(z-a)}+\frac{5}{6}-\frac{5(z-a)}{18}+\cdots</tex>

entonces:
<tex>g(f(z))=( \frac{5}{6(z-a)} +\frac{5}{6}-\frac{5(z-a)}{18}+\cdots)+h(f(z)) </tex>

Como lo definí al comienzo, <tex>h(z) </tex> no tiene singularidades en <tex>z=a</tex>, a lo sumo tendrá ceros.
Puedo decir entonces que <tex>g(f(z)) </tex> tiene un polo simple en <tex>z=a</tex> y el <tex>\mbox{Res}[g(f(z)),z=a]=\frac{-5}{6}</tex>


===== Discusión =====

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