====== Primer Parcial 05/07/2005 - Cátedra Isaacson ======


===== Enunciado =====

  -Calcular la integral <tex>\int_0^{\infty} \frac{x^2 dx}{ \left( x^2+1 \right) \left(x^2+4 \right) }</tex>. Justificar.
  - 
    -Hallar los tres primeros términos del desarrollo en serie de la función <tex>f(z)=\frac{1}{e^z - 1}</tex> alrededor de <tex>z=0</tex> y determinar la región de convergencia.
    -Calcular <tex>\int_{|z|=1} \frac{dz}{e^z-1}</tex>.
  -Transformar la región <tex>z=x+iy</tex>, con <tex>x \geq 0</tex> e <tex>y \geq 0</tex>, a través de la función <tex>m(z) = \frac{1}{z^2+1}</tex>.
  - 
    -Sea <tex>f(z)</tex> entera, <tex>f(z) \not= 0 \! \forall z \in \mathbf{C}</tex> y <tex>f(i+1) \not= f(2i)</tex>, ¿Qué puede decir sobre su desarrollo en serie? ¿Qué tipo de singularidad tiene en <tex>z = \infty</tex>?
    -Si <tex>\Gamma</tex> es la curva que limita una región <tex>A</tex>, hallar la relación entre <tex>\oint_{\Gamma} \overline{z} dz</tex> y el área de <tex>A</tex>.
  -<tex>P(z)</tex> es un polinomio de grado <tex>n</tex> que no tiene ceros en <tex>|z| \geq R</tex>, <tex>(R>0)</tex>. Si <tex>\mathbf{C}</tex> es la circunferencia <tex>|z| = R</tex>, calcule <tex>\frac{1}{2\pi i} \oint_{C} \frac{P'(z)}{P(z)} dz</tex>.
====== Resolución ======



===== Punto I =====

Sabiendo que <tex>g(x)=x^2</tex>, <tex>h(x) = (x^2 + 1)</tex> y <tex>p(x) = (x^2 + 4)</tex> son funciones pares se puede afirmar que:

<tex>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\, dx = 2 \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\, dx</tex>

Por lo tanto resulta conveniente calcular:

<tex>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}\, dx</tex>

Para ello se pasa a la variable compleja de la siguiente manera:

{{:materias:61:10:curva.png|:materias:61:10:curva.png}}

<tex>\oint_{\gamma_r} f(z)\, dz = \oint_{\gamma_r} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz = 2\pi i \sum_{n = 1}^k \mathnormal{Res} [f(z),z_n]</tex>

Conociendo las singularidades <tex>z = \pm i</tex> Y <tex>z = \pm 2i</tex>.Se calculan los residuos según el gráfico en <tex>z = i</tex> y <tex>z = 2i</tex>:

Para <tex>z = i</tex>

<tex> \phi(z) =\frac{z^2}{(z + i)(z + 2i)(z - 2i)} \Rightarrow \phi(i) = \frac{-1}{6i}</tex>

Para <tex>z = 2i</tex>

<tex> \phi(z) =\frac{z^2}{(z + i)(z - i)(z + 2i)} \Rightarrow \phi(i) = \frac{4}{12i}</tex>\\
 
<tex>\Rightarrow 2\pi i \sum_{n = 1}^k \mathnormal{Res} [f(z),z_n] =  2\pi i(\frac{-1}{6i}+\frac{4}{12i}) = \frac{\pi}{3}</tex>

Sabiendo que:

<tex>\oint_{\gamma_r} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz = \int_{\mathcal{C}} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz + \int_{-\mathcal{R}}^{+\mathcal{R}} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)}</tex>

<tex>\Rightarrow \int_{\mathcal{C}} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz + \int_{-\mathcal{R}}^{+\mathcal{R}} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{3}</tex>

Si hacemos el cambio de variable <tex> z = R e^{i \theta} </tex> obtenemos:

<tex> dz = i R e^{i \theta} d \theta </tex>

<tex> \int_{\mathcal{C}} \frac{z^2 dz}{ \left( z^2 + 1 \right) \left( z^2 + 4 \right) } = \int_{\mathcal{C}} \frac{R^2 e^{2i \theta} i R e^{i \theta} d \theta}{ \left( R^2 e^{2i \theta} + 1 \right) \left( R^2 e^{2i \theta} + 4 \right) } = \int_{\mathcal{C}} \frac{R^3 e^{3i \theta} i d \theta}{ R^4 e^{4i \theta} + 5 R^2 e^{2i \theta} + 4} </tex>

Y si tomamos el límite para cuando <tex> \mathcal{R} </tex> tiende a infinito:

<tex> \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{R^3 e^{3i \theta} i d \theta}{ R^4 e^{4i \theta} + 5 R^2 e^{2i \theta} + 4} = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{R^3 e^{3i \theta} i d \theta}{ R^4 \left( e^{4i \theta} + \frac{5 R^2 e^{2i \theta}}{R^4} + \frac{4}{R^4} \right) } = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{e^{3i \theta} i d \theta}{ R \left( e^{4i \theta} + \frac{5 e^{2i \theta}}{R^2} \right) } = ... </tex>

<tex> ... = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \int_{\mathcal{C}} \frac{ e^{3i \theta} i d \theta}{ R \left( e^{4i \theta} \right) } = \lim_{\mathcal{R} \longrightarrow \infty} \frac{1}{R} \int_{\mathcal{C}} \frac{ i d \theta}{ e^{i \theta} } = 0 </tex>

Entonces, cuando <tex>R</tex> tiende a infinito, <tex>\int_{\mathcal{C}} \frac{z^2}{(z^2 + 1)(z^2 + 4)}\, dz</tex> tiende a cero.

Por lo tanto queda: 

<tex>\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{3}</tex>

<tex>\Rightarrow \int_{0}^{+\infty} \frac{x^2}{(x^2 + 1)(x^2 + 4)} = \frac{\pi}{6}</tex>

===== Discusión =====

<note warning>
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