====== Parcial 9/05/2006 - Cátedra Anaya ======

===== Enunciado =====

  -Dadas las regiones <tex>D_I = \{z / |z-1| < \sqrt{2}\}</tex>, <tex>D_{II}  = \{z / |z+1| < \sqrt{2}\}</tex>, <tex>D = D_I \cap D_{II}</tex> Encontrar una función armónica en <tex>D</tex> cuyo valor en la parte de la frontera correspondiente a  <tex>D_1</tex> sea constante igual a 1 y en la correspondiente a <tex>D_{II}</tex> sea 2. Indicar si la función hallada es única. Justificar.
  - 
    -Encontrar el desarrollo de Laurent en potencias de <tex>z</tex> de <tex>f(z) = \frac{(z+1)^2}{z^2+1}</tex>  convergente en <tex>z = 2</tex>
    -Caracterizar la Serie de Laurent en torno a <tex>z = 0</tex> de las funciónes holomorfas para <tex>z \not= 0 </tex> con <tex>\lim_{z \to \infty} = \infty</tex> y <tex>\lim_{z \to 0} = \infty </tex> 
  - 
    -Clasificar las singularidades de <tex>f(z) = \frac{\pi z (1-z^2)}{\sin(\pi z)}</tex> en <tex>\mathbf C^*</tex> y informar acerca del <tex>Res(f,0)</tex>, <tex>Res(f, \infty)</tex>
    -Calcular <tex>\oint_\gamma \sqrt[3]{z-1} \frac{f(z)}{z} </tex> siendo <tex> \gamma</tex> la circunferencia <tex>  z : | z | = \frac{1}{2} </tex> orientada en sentido antihorario, y si se considera la determinación de <tex>\sqrt[3]{z}</tex> holomorfa en <tex>\mathbf C - \{ z=iy, y>0\}</tex> cuyo valor en 8 es 2.
  - 
    -Estudiar la convergencia de la integral <tex> I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x^p}{x^{2p} + 1} \sin(ax) dx</tex> <tex>\forall p \in \mathbf R , a \in \mathbf R</tex>
    -Calcular la integral para <tex>p = -1</tex>
  -Sea <tex>a_n</tex> una sucesión en <tex>\mathbf C</tex> tal que existe <tex>M > 0, r > 0 / \forall n \in \mathbf N |a_n| < M r^{-n}  </tex> \\ Encontrar un entorno de <tex> z = 0</tex> en el que <tex>\sum_{n=0}^\infty a_n z^n</tex> defina una función holomorfa. Justificar.


===== Resolución =====

=== Resolución Ejercicio 2 ===
**a)**
<tex>f(z) = \frac{(z+1)^2}{z^2+1}</tex>\\
<tex>f(z) = \frac{z^2+2z+1}{z^2+1}</tex>\\
<tex>f(z) = 1 + \frac{2z}{z^2+1}</tex>\\
Voy a llamar<tex>g(z) = \frac{2z}{z^2+1}</tex>\\
Por lo tanto sacando como factor comun en el denominador a <tex>z^2</tex> queda:<tex>g(z) = \frac{1}{z(1-(-1/z^2))}</tex>\\
Esta funcion la puedo expresar como serie geométrica siempre y cuando <tex>|1/z^2| <1</tex>\\
Por lo tanto <tex>|z| >1</tex> que es la región que me estaban pidiendo\\
Entonces <tex>g(z) = z^{-1} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{-2n}</tex>\\
<tex>g(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{-(2n+1)}</tex>\\
Nosotros teniamos que <tex>f(z) = 1 + g(z)</tex>\\
Por lo tanto:\\ <tex>f(z) = 1 + \sum_{n=0}^\infty (-1)^n z^{-(2n+1)}</tex>\\
\\
 
**b)**\\
Que la función holomorfa tenga límite infinito en el origen y en el punto infinito, significa que en esos puntos estan los polos de la función.\\ Suponiendo que <tex>z_0 =0</tex> es un polo de orden k y el <tex>z_0 =\infty</tex> es un polo de orden j. Por la definición de polo podemos representar a una serie de este estilo como:\\
<tex>f(z) =\sum_{n=-k}^j a_n z^n</tex>\\
\\




Queda pendiente la resolución para la próxima entrega, y gracias al que cambió el estilo del enunciado.