====== Examen Parcial - 61.10. Análisis Matemático III - 28/11/2007 ======

**Cátedra:** Sacerdoti
**Fecha:** 3ra Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2007
**Día:** 28/11/2007

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Dada la I.I.

<tex>
\int_0^\infty \frac{ x^a} { (1 + x^2)^2} \, dx
</tex>

a) Hallar todos los valores de a para los cuales la integral es convergente

b) Calcularla en el campo complejo

c) Calcularla mediante Eulerianas

==== Punto II ====

Dada la función <tex>f(z) = \frac {e^\frac{1}{z} }{z - 1}</tex>; calcular <tex>\oint_{|z|=2^k} f(z) dz</tex>, para k = -1,0,1

==== Punto III ====

Hallar la distribución de potencial P en la región exterior a ambos círculos. Hallar su expresión y graficar las líneas equipotenciales y de campo.

==== Punto IV ====

Determinar si son verdaderas las siguientes afirmaciones. Justificar.

a) Sea <tex> f: D \subset C \rightarrow C</tex> , tal que <tex>\oint_{\gamma} f = 0</tex> para todo lazo <tex>\gamma \in D </tex>, entonces <tex>f \in H(D)</tex>

b) <tex> R( ({\sin (z^{-1}}))^ {-1} , z = 0 ) = 1</tex>

c) Sean <tex>u : A \subset {\Re}^2 \rightarrow \Re</tex> y <tex>v : A \subset {\Re}^2 \rightarrow \Re</tex>, funciones derivables. Si ellas cumplen las condiciones de Cauchy-Riemman  en un punto <tex>(x_0, y_0) \in A</tex>, entonces se puede afirmar que la funcion <tex>f(x,y) = u(x,y) + i v(x,y)</tex> es diferenciable en <tex>x_0 + i y_0 </tex>