====== Examen Final - 61.10. Analisis Matemático IIIA ====== **Cátedra:** Isaacson\\ **Día:** 24/02/2009\\ ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Sea C una curva simple cerrada orientada positivamente. Hallar los valores de g(z)=\int _{C} \frac{s^{3} + 2s}{(s-z)^{3}} \,ds cuando Z es interior a C y cuando Z es exterior a C. Justificar claramente. ==== Punto II ==== === a) === Sea f(t) regular a trozos y periódica de período T. Si C_{n} son los coeficientes de la serie exponencial de Fourier de f(t), hallar los coeficientes de la serie exponencial de Fourier de g(t) = f(t - t_{0}). ¿Cambia la magnitud de los coeficientes de Fourier al desplazar la función periódica en el tiempo? === b) === Explicar si para las siguientes funciones sus series de Fourier convergen en media, puntualmente o uniformemente. Determinar si se pueden derivar las series y, en caso afirmativo, la función a la cual convergen las series derivadas en [-\pi , \pi]. (No calcular las series) **i)** f(x) = \pi - |x| x\in[-\pi , \pi] **ii)** f(x) = \left\lbrace \begin{array}{cc} x^{2} + 1 & -\pi \leq x<0 \\ x + 1 & 0 \leq x<\pi \\ \end{array} \right. ==== Punto III === === a) === Determinar f(t) sabiendo que: **i)** f(t) es real y no negativa **ii)** \int_{-\infty}^{\infty} |\hat f (\omega )|^{2} \,d\omega = 2\pi **iii)** \mathcal{F}^{-1}[(1 + \imath \omega )] = Ae^{-2t} A=constante === b) === Sea f(t) \in L^{2} y continua a trozos. Hallar la transformada de Fourier de g(t) = \cos(t)f(3t + 5) en función de \hat f(\omega ). ==== Punto IV ==== === a) === Definir producto de convolución: f(t)U(t) \ast g(t)U(t), estableciendo condiciones suficientes para su existencia. === b) === Demostrar que \mathcal{L}[f(t)U(t) \ast g(t)U(t)] = F(s).G(s) === c) === Calcular: e^{t}U(t) \ast \sin(t)U(t)