====== Examen Final - 61.10. Analisis Matemático IIIA ====== **Cátedra:** Isaacson\\ **Día:** 17/02/2009\\ ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Hallar g(z_0) si g(z) es entera, f(z) holomorfa salvo en z_0 donde tiene un polo de orden m y \int_{|z-z_0| = 1} g(z) \frac{f'(z)}{f(z)} \, dz = \pi . Justificar claramente todos los pasos. ==== Punto II ==== === a === Hallar el desarrollo en Serie de Fourier de senos de f(x) = 1 , x \in (0,2) por derivación del desarrollo en Serie de Fourier de una función adecuada, justificando por qué dicha derivación es posible. === b === Hallar, si es posible, a partir de a): \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n +1 } ==== Punto III === === a === Si \mathcal{F}[f(t)](w) = \frac{1}{w^2 +1}, sin antitransformar hallar la Transformada de Fourier de f'(4t) - 6f(3t -2) enunciando las hipotesis necesarias. === b === Hallar f y g tales que: \int_0^{\infty} f(t)sin(xt) \, dt = e^{-x}, \int_0^{\infty} g(t)cos(xt) \, dt = e^{-x}, x > 0 ==== Punto IV ==== === a === Hallar \mathcal{L}[f^{(n)}(t-a)U(t-a)] === b === Resolver: y' + 3y + 2 \int_0^t y \, dt = f(t), y(0)=1, siendo f(t)=2 si 1 \leq t \leq 2 , f(t) = 0 si t \notin (1,2)