====== Integrador 8/03/2006 - Cátedra Isaacson ======
===== Enunciado =====
-Resolver utilizando Transformada de Laplace: \\ u_{tt} = 4 u_{xx}, t > 0, x > 0 \\ u(0,t) = u_x (0,t) = 0, u(x,0) = \sin(\pi x), u_t (x,0) = \cos (\pi x) \\ Hallar u(1,1).
-Se sabe que \sum_{1}^{\infty} b_n \sin (nx) es la Serie de Fourier de f(x) = { \left( x - \frac{\pi}{2} \right) }^2, x \in \left[ 0 , p \right].
-Determinar p.
-Graficar la función a la que converge la Serie en \mathcal{R} y determinar el tipo de convergencia.
-¿En cuántos puntos del intervalo \left[ 0 , 3 \pi \right] se anula la serie?
-Si las transformadas de f(t), g(t) y r(t) son \widehat f (\omega), \widehat g (\omega) y \widehat r (\omega) respectivamente, mostrar que la solución de la ecuación \\ f(t) = g(t) + \int_{- \infty}^{\infty} f(u) r(t-u) du \\ está dada por f(t) = \frac{1}{2 \pi } \int_{- \infty}^{\infty} \frac{\widehat g (\omega)}{1 - \widehat r (\omega)} e^{i \omega t} d \omega. \\ Establecer las hipótesis necesarias.
-
-Demostrar que \mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = X(z) Y(z).
-Demostrar que si x(n) e y(n) son dos señales causales (esto es x(n) = y(n) = 0 si n < 0), entonces: \\ \left( x \ast y \right) (n) = \sum_{ k = 0}^{n} x(k) y(n-k).
-Usar el punto **II** para demostrar que si H(z) = \frac{z^2}{ \left( z - e^a \right) \left( z - 1 \right)}, a > 0, |z| > e^a, entonces h(n) = \frac{1- e^{a(n+1)}}{1-e^a}.
===== Resolución =====
-1
-2
-3
-4
-I \mathcal{Z} \left[ x(n) \ast y(n) \right] = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ x(n) \ast y(n) \right] z^{-n} = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) \right] z^{-n}
*Intercambiando el orden de las sumatorias (no se como probar que esto es válido, es un truco algebraico): \\ \sum_{k = - \infty}^{\infty} \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) z^{-n} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{n = - \infty}^{\infty} y(n-k) z^{-n} \right]
*Haciendo el cambio de variable p = n - k: \\ \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-(p+k)} \right] = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k) z^{-k} \left[ \sum_{p = - \infty}^{\infty} y(p) z^{-p} \right] = X(z)Y(z)
-II \left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = - \infty}^{\infty} x(k)y(n-k) = \sum_{k = - \infty}^{-1} x(k)y(n-k) + \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k) + \sum_{k = n + 1}^{\infty} x(k)y(n-k)
*En el último miembro, el primer término se anula porque x(k) = 0 para k < 0 y el tercer término se anula porque y(n-k) = 0 para k>n+1. Entonces nos queda: \\ \left( x \ast y \right) (n) = \sum_{k = 0}^{n} x(k)y(n-k)