====== Integrador 28/02/2006 - Cátedra Isaacson ====== ===== Enunciado ===== -Sea f(t) real y par, periódica de período T=2 y c_n sus coeficientes complejos de Fourier. -Demostrar que c_0 \in \mathbf{R} y c_n=c_{-n} \in \mathbf{R}. -Hallar f(t) si además se sabe que c_n=0 si \mid n \mid \geq 2, \int_{-1}^{1} \mid f(t) \mid^2 dt = 2 y f \left( \frac{1}{2} \right) = 0 -Dada la ecuación: y(t)= \int_{0}^{t} \frac{1}{2} \left( e^{-2(t-u)} - e^{-3(t-u)} \right) u \sin (5u) du, -Hallar Y(s) y graficar la región de convergencia. -Hallar la ecuación diferencial y las condiciones iniciales del problema cuya solución es y(t). - -Demostrar que si \mathcal{F} \left[ f(t) \right] = \widehat f (\omega) , entonces \mathcal{F} \left[ f(t) \sin (bt) \right] = \frac{1}{2i} \left[ \widehat f (\omega -b) - \widehat f (\omega +b) \right] . -Utilizar a) y una propiedad adecuada para hallar \widehat f (\omega), siendo f(t) = \frac{\sin (bt)}{a^2 + t^2} \mbox{ y } \mathcal{F} \left[ e^{-a \mid t \mid } \right] = \frac{2a}{a^2 + \omega^2} -Hallar Y^{+}(z), su región de convergencia y la sucesión y(n) sabiendo que: \\ y(n) = y(n-1) + y(n-2), y(0)=0 , y(1)=1. ===== Resolución ===== - *La Serie Compleja de Fourier de f(t) es \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n e^{i n \frac{2 \pi}{T} t} con c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) e^{- i n \frac{2 \pi}{T} t} dt *Por la identidad de Euler, tenemos que e^{it}=\cos (t) + i \sin (t) *Entonces nos queda: \\ c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \left[ \cos \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) - i \sin \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) \right] dt *Aplicando propiedad distributiva y linealidad de la integral: \\ c_n = \frac{1}{T} \left[ \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) dt - i \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \sin \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) dt \right] *Como f(t) y cos(t) son funciones pares, y sen(t) es una función impar, tenemos lo siguiente: \\ El producto f(t) \cos (t) será una función **par**. \\ El producto f(t) \sin (t) será una función **impar**. \\ La integral de una función impar, en un intervalo de la forma \left[ \-a \mbox{;} a \right] será nula. *Entonces el segundo miembro se anula, y nos queda: \\ c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t) \cos \left( n \frac{2 \pi}{T} t \right) dt -Al ser f(t) una función real, la integral anterior también será real. Por lo tanto c_n es real y en particular c_{-n} y c_0 tambien lo serán. \\ Como \cos (t) = \cos (-t), evidentemente c_n = c_{-n}. -Tenemos lo siguiente: \\ \int_{-1}^{1} \mid f(t) \mid^2 dt = \int_{-T/2}^{T/2} f(t) f(t) dt = {\| f(t) \|}^2 *También sabemos, por la Identidad de Parseval: \\ \frac{1}{T} {\| f(t) \|}^2 = \sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2 *Entonces: \\ \int_{-1}^{1} \mid f(t) \mid^2 dt = T \sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2 = 2 *Sabiendo que c_n = 0 si | n | \geq 2 y c_{-n} = c_n, nos quedan las siguientes igualdades: \\ \sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2 = c_{-1}^2 + c_{0}^2 + c_{1}^2 = 2 c_{1}^2 + c_{0}^2 = \frac{2}{T} \\ y \\ f(t) = c_{-1}e^{- i \frac{2 \pi}{T} t} + c_{0} + c_{1}e^{i \frac{2 \pi}{T} t} = c_0 + c_{1} \left[ e^{i \frac{2 \pi}{T} t} + e^{- i \frac{2 \pi}{T} t} \right] = c_0 + 2 c_1 \cos \left( \frac{2 \pi}{T} t \right) *Con el dato f \left( \frac{1}{2} \right) = 0, podemos encontrar el valor de c_0: f \left( \frac{1}{2} \right) = c_0 + 2 c_1 \cos \left( \frac{\pi}{T} \right) = c_0 + 2 c_1 \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = c_0 = 0 *Reemplazando c_0 en la otra ecuación: \\ 2 c_1^2 = \frac{2}{T} \\ c_1^2 = \frac{1}{2} \\ | c_1 | = \sqrt{\frac{1}{2}} *Concluyendo, tenemos las siguientes dos soluciones para f(t): \\ f_{1}(t) = \sqrt{2} \cos \left( \pi t \right) \\ f_{2}(t) = - \sqrt{2} \cos \left( \pi t \right) *Gráficos de las funciones: \\ set samples 5000 set zeroaxis plot [-2:2][-2:2] sqrt(2)*cos(pi*x),(-1)*sqrt(2)*cos(pi*x)