====== Examen Final - 61.10. Analisis Matemático IIIA ======
**Cátedra:** Isaacson\\
**Día:** 08/07/2003\\


===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Siendo <tex>f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1 + 2i)^n \cdot n!}{n^n} \cdot z^n</tex> hallar el radio de convergencia r y calcular <tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} ( 2 + z + \frac{1}{z}) f(z) \frac{dz}{z}</tex>

==== Punto II ====

Sea <tex>f(t)</tex> real y par, periódica de período <tex>T = 2</tex>
Sus coeficientes de Fourier <tex>a_k</tex> verifican: <tex>a_k= 0</tex>, si <tex>|k| > 1</tex>
Si se cumple que: <tex>\frac{1}{2} \int_0^2 |f(t)|^2 \ dt = 1 </tex> y si <tex>f(\frac{1}{2})=0 </tex>, hallar <tex>f(t)</tex> usando la serie exponencial.

==== Punto III ====

Si se verifica que <tex>\phi(t) + \int_0^t (t-x) \phi(x) \ dx = u(t) </tex>, demostrar que <tex>\phi(t) = cos(t)</tex>

==== Punto IV ====

Resolver:

<tex>u'_t = u'_{xx}</tex>  <tex> e \in (0,\pi), t >0 </tex>

<tex>u'_x(0,t) = u'_x(\pi,t) = 0</tex>

<tex>u(x,0) = e^x</tex>

==== Punto V ====

Si <tex>F(s) = log(\frac{s^2+9}{s^2+1})</tex>, hallar <tex>f(t)</tex>

===== Resolución =====

==== Punto I ====

<tex>f(x)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1 + 2i)^n \cdot n!}{n^n} \cdot z^n</tex> 

<tex>u_n = \frac{(1 + 2i)^n \cdot n!}{n^n} \cdot z^n</tex>

Encuentro el radio de convergencia por Dalambert:

<tex>\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{|u_{n+1}|}{|u_n|} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\frac{(1+2i)^{n+1}(n+1)! z^{n+1}}{(n+1)^{n+1}}} {\frac{(1+2i)^n n! z^n}{n^n}}</tex>

<tex> \Rightarrow |z| < \frac{1}{\sqrt{5}}</tex>

Escribo los primeros terminos de <tex>f(z)</tex>

<tex>f(z) = (1 +2i)z + \frac{(1+2i)^2}{4} z^2 + ...</tex>

Resolvemos la integral:

<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} ( 2 + z + \frac{1}{z}) f(z) \frac{dz}{z} = \int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{2f(z)}{z} \ dz + \int_{|z|=\frac{r}{2}} f(z) \ dz + \int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{f(z)}{z^2} \ dz</tex>

Resuelvo con la formula integral de Cauchy.

<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} f(z) \ dz = 0 </tex> 

<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{2f(z)}{z} \ dz =  4\pi i f(0) = 0</tex>

<tex>\int_{|z|=\frac{r}{2}} \frac{f(z)}{z^2} \ dz = 2\pi i f'(0) = \pi(2i-4)</tex>

<tex>\Rightarrow \int_{|z|=\frac{r}{2}} ( 2 + z + \frac{1}{z}) f(z) \frac{dz}{z} = \pi(2i-4)</tex>


==== Punto II ====

Planteo la identidad de Parseval:

<tex> ||f||^2 = \frac{a_o^2}{2} + \sum_{-\infty}^{\infty} a_k^2 + b_k^2 </tex>

Como la función es par <tex>b_k=0 \ \forall \ k</tex>

Y segun el dato del enunciado: <tex>a_k= 0</tex> si <tex> |k|>1</tex>

<tex>\Rightarrow ||f||^2 = \sum_{n = -\infty}^{\infty} {| c_n |}^2 = c_{-1}^2 + c_{0}^2 + c_{1}^2 = 2 c_{1}^2 + c_{0}^2  </tex>

El otro dato del enunciado es:

<tex>\frac{1}{2}\int_0^2 |f(t)|^2 \ dt = 1 \rightarrow \frac{1}{2} || f ||^2 = 1 \rightarrow 2 c_{1}^2 + c_{0}^2 = 2 </tex>

<tex>f(t) = \sum_{-\infty}^{\infty} C_n \cdot e^{int} = C_{-1} \cdot e^{-i\pi t} + C_o + C_1 \cdot e^{i\pi t} = 2C_1 \cdot (e^{i\pi t} + e^{-i\pi t}) + C_o</tex>

<tex>\Rightarrow f(t) = 4C_1 \cdot cos(\pi t) + C_o </tex>

<tex>f(\frac{1}{2}) = 0 \Rightarrow C_o = 0 </tex>

<tex>\Rightarrow C_1 = 1 \Rightarrow f(t) = 4 \cdot cos(\pi t)</tex>

==== Punto III ====

<tex>\phi(t) + \int_0^t (t-x) \phi(x) \ dx = u(t) </tex>

Aplico la transformada de Laplace:

<tex>\mathcal{L} [\phi(t)] + \mathcal{L} [\int_0^t (t-x) \phi(x) \ dx] = \mathcal{L} [u(t)]</tex>

Por propiedades del producto convolución:

<tex>\mathcal{L} [\phi(t)] + \mathcal{L} [t] \cdot \mathcal [\phi(x)] = \mathcal{L} [u(t)] </tex>

<tex> Y(s)(1 + \frac{1}{s^2}) = \frac{1}{s}</tex>

<tex> Y(s) = \frac{s}{s^2 +1} </tex>

Aplico la antitransformada:

<tex> \Rightarrow \phi(t) = cos(t) </tex>


==== Punto IV ====

Resuelvo por separación de variables:

<tex> X \cdot T' = X'' \cdot T</tex>

<tex> \frac{X''}{X} = \frac{T'}{T} = -\lambda^2</tex>

Me quedan dos ecuaciones diferenciales ordinarias:

<tex> x'' = -\lambda^2 \cdot x</tex>    y    <tex> t' = -\lambda^2 \cdot t </tex>

<tex>\Rightarrow X(x) = A \cdot cos(\lambda x) + B \cdot sen (\lambda x)</tex>

<tex>\Rightarrow T(t) = C \cdot e^{-\lambda^2 t} </tex>

Uso las condiciones iniciales:

<tex>X'(x) = -\lambda A sen(\lambda x) + \lambda B cos(\lambda x) </tex> 

<tex>u'_x(0,t) = 0 \rightarrow X'(0) \cdot T(t) = 0  \rightarrow X'(0) = 0 \rightarrow B = 0</tex>

<tex>u'_x(\pi ,t) = 0 \rightarrow sen(\pi \lambda) = 0 \rightarrow \lambda = n </tex>

<tex>u_n(x,t) = A \cdot C \cdot cos(nx) \cdot e^{-\lambda^2 t} </tex>

<tex>u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A \cdot C \cdot cos(nx) \cdot e^{-\lambda^2 t} </tex>

<tex>u(x,0) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cdot cos(nx) = e^x </tex>

<tex>A_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} e^x \cdot cos(nx) dx </tex>

<tex>\Rightarrow u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} A_n \cdot cos(nx) \cdot e^{-\lambda^2 t}</tex>



==== Punto V ====

<tex> F(s) = log(\frac{s^2 +9}{s^2 +1})</tex>

<tex>F'(s) =  (\frac{s^2 +1}{s^2 +9}) (\frac{2s(s^2+1)- 2s(s^2+9)}{(s^2 +1)^2}) </tex>

<tex>F'(s) =  \frac{2s}{s^2 + 9} - \frac{2s}{s^2 +1} </tex>

uso la propiedad: <tex>\mathcal{L} [t \cdot f(t)] = - F'(s) </tex>

<tex>\Rightarrow \mathcal{L}^{-1}[F'(s)] = -t \cdot f(t) </tex>

<tex>\Rightarrow f(t) = \frac{2cos(t) - 2cos(3t)}{t} </tex>