====== Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis ====== 
===== 2001 - 1er cuatrimestre - Evaluación integradora - 2a oportunidad =====
  * **P1)** Calcular el valor principal de <tex>I = \oint_{\gamma}\frac{e^{1/z}}{z-i}dz</tex>\\
{{:materias:61:10:p1-2001.png?334.8x202.5}}
  * **P2)** Resolver <tex> \left\{ \begin{array}{ll}
\nabla ^2u = 0\\
u(1,\varphi) = 0\\
u(2,\varphi) = \sin (\varphi /2)\\
\end{array} \right. </tex> 
{{:materias:61:10:p2-2001.png?334.8x202.5}}
  * **P3)** Resolver: <tex>5y+y'+6\int_{0}^{t}y(x)dx = \left\{ \begin{array}{lll}
t & |t|<1\\
0 & |t|>1\\
\end{array} \right. y(0)=0</tex> 
  * **T1)** Analizar cuántos resultados distintos tiene la integral <tex>\int_{-1}^{1} \frac{dz}{z} </tex> y calcularlos.
  * **T2)** Demostrar si es verdadero o falso: \\
<tex>f(z)=\sum_{n=-2}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n</tex>  <tex>\wedge</tex>  <tex>\gamma_r : z = z_0+re^{i\varphi}</tex> => <tex>\lim_{r\rightarrow\ 0} \int_{\gamma_R}f(z)dz=a_{-2}</tex>\\
<tex>\varphi \in [0,\alpha]; \alpha < 2\pi</tex>
  * **T3)** Demostrar que la sucesión <tex>\{\cos nx\}</tex>; <tex>x</tex> <tex>\in</tex> <tex>[-\pi, \pi]</tex>; <tex>p(x)=1</tex> es ortogonal pero no completa en el espacio de las funciones continuas <tex>[-\pi, \pi]</tex>.
  * **T4)** Demostrar: <tex>H) y'' + py'+ qy = 0</tex> <tex> \left. \begin{array}{ccc} 
 y_1 = x^{r_1} H_1(x)  &  H_1 \in H/V_0 \\
 y_2 = x^{r_2} H_1(x)  &  H_2 \in H/V_0 \\
\end{array} \right. </tex> \\
    * <tex>T)</tex> p(x) tiene a lo sumo polo de <tex>1^{er}</tex> orden en 0. \\
    *  q(x) tiene a lo sumo polo de <tex>2^{do}</tex> orden en 0. \\
  * **T5)** Demostrar los teoremas del desplazamiento de la original y del desplazamiento de la transformada de Laplace.