====== Examen Final - 61.10. Análisis Matemático III - 14/02/2013 ======

**Cátedra:** Todas\\ 
**Fecha:** Cuarta Oportunidad - Verano 2013\\ 
**Día:** 14/02/2013

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===== Enunciado =====
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Es común que haya errores en el enunciado, los cuales son aclarados (o no) inoportunamente en la mitad del examen; si ves algo que te parece que está mal, posiblemente lo esté (pero no te confíes).
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==== Punto I ====
En el primer cuadrante fluye el calor en régimen permanente, permaneciendo el eje <tex>y</tex> a temperatura <tex>0^{\circ}C</tex>. Proponga una condición de contorno sobre el eje x de modo que se pueda hallar la distribución de temperaturas en dicha región:
  - Utilizando la transformada seno de Fourier.
  - Utilizando transformación conforme.
  - Con la funciones propuestas resuelva dichos problemas.

==== Punto II ====
  - Estableciendo hipótesis necesarias, enuncie y demuestre la propiedad que permite obtener la transformada de Laplace de la función integral de una función <tex>f(t)</tex> en función de la transformada de Laplace de <tex>f(t)</tex>.
  - Utilice la transformada de Laplace para resolver:
      - <tex>\left \lbrace \begin{matrix} y_x(x,t) + 3x^2 y_t(x,t) & t> 0, x> 0 \\
y(x,0) = 0&\\
y(0,t)=2t&
\end{matrix} \right .</tex>

==== Punto III ====
Resuelva el siguiente problema de contorno:
  -<tex>\left \lbrace \begin{matrix} T_{xx} + T_{yy} = 0 & 0<x <\pi, t >0, y > 0\\
T_x(0,y)=0&\\
T(\pi, y)=1&\\
T(x,0)=x
\end{matrix} \right .</tex>

==== Punto IV ====
  - Enuncie el teorema de la fórmula integral de Cauchy y explique cómo lo extiende a una región <tex>D</tex> doblemente conexa limitada exteriormente e interiormente por las curvas simples cerradas <tex>\Gamma_1</tex> y <tex>\Gamma_2</tex>, respectivamente.
  - Sean las curvas simples cerradas <tex>\Gamma_1</tex> y <tex>\Gamma_2</tex> que limitan exteriormente e interiormente, respectivamente, la región <tex>D</tex> del plano complejo. <tex>f(z)</tex> es una función holomorfa en <tex>D \cup \Gamma_1 \cup \Gamma_2</tex>. Los puntos <tex>z_0</tex> y <tex>z_1</tex> pertenecen a <tex>D</tex>. Se sabe que: <tex>\frac{1}{2\pi i} \left[ \oint_{\Gamma_1}  \frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_1)}dz - \frac{1}{2 \pi i} \oint_{\Gamma_2} \frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_1)} dz   \right]=\frac{8}{z_1-z_0}</tex> y que <tex>4 f(z_1) + f(z_0) = 6</tex>, obtenga <tex>f(z_1)</tex> y <tex>f(z_0)</tex>. Enuncie el teorema que aplique y explique cómo lo aplicó.

==== Punto V ====
  - Obtenga el D.S.F de consenos de <tex>f(x) = \left \lbrace \begin{matrix} 1 & si & 0<x < \pi/2 \\
2 & si & \pi/2 < x < \pi \end{matrix} \right.</tex>
  - Defina la función <tex>f^{*}: [0,\pi] \to \mathbf{R}</tex> a la cual dicho desarrollo converge puntualmente.
  - Calcule
      - <tex>\sum_1^\infty \frac{(-1)^n}{(2n-1)}</tex>
      - <tex>\sum_1^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}</tex>


===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
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