====== Análisis Matemático III ====== ===== 2009 - Evaluación integradora - 1ra oportunidad (29/06/09) ===== ==== Enunciado ==== * **P1)** La función m(x,y) = \frac{-y}{x^2+y^2}e^{3x}\cos(3y)+\frac{x}{x^2+y^2}e^{3x}\sin(3y) es la parte imaginaria de la función de variable compleja holomorfa en C - \{0\}. * **1.** Halle la parte real n(x,y) y la correspondiente función f(z). * **2.** Halle el ángulo que forman las curvas de nivel de m(x,y) y las de n(x,y) en el punto (1,1). * **3.** Sean \gamma_1 y \gamma_2 las rectas x=1 y y=0 respectivamente en el plano complejo z, y sean \Gamma_1 y \Gamma_2 sus correspondientes imágenes en el plano \omega cuando se les aplica la función f(z). Decir que ángulo forman \Gamma_1 y \Gamma_2 en el punto \left( e^3,0\right) en el plano \omega. * **P2)** Sea f(x) = \left\{ \begin{array}{ll}1 & x = 0\\ 10 & x=\pi \\ x & \forall x \ne \pi \ne 0 \\ \end{array} \right. en el intervalo [0,2\pi]. * **1.** Haga el desarrollo en serie trigonométrica de Fourier de cosenos de dicha función y explique a que función CV. * **2.** Utilice dicho desarrollo para obtener una serie numérica que converja a \int_0^{2\pi}x^2 dx * **P3)** Describa una situación física representada por el siguiente problema, y resuelvalo. \left[ \begin{array}{cl}u_t^{'}(x,t) = u_{xx}^{''}(x,t) & 0\le x \le 2\pi ;\, t>0\\u(0,t)=0 & t>0\\u(2\pi,t)=1 &t>0\\u(x,0) = x & 0\le x \le 2\pi \\ \end{array} \right. * **P4)** Si la L(f(t)) = F(s), hallar L \left[t\left( \int_0^{t-a} f(u)du\right) H(t-a)\right]. Demuestre todas las propiedades de la T.L. que haya utilizado. ==== Resolucion ====