====== Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis ====== 
===== 2008 - Evaluación integradora - 1ra oportunidad (12/02/08) =====

==== Enunciado ====
  * **P1)** Calcular <tex>\oint_{|z|=3} z^2.e^{\frac{1}{z}} dz</tex>
  * **P2)** Resolver <tex> u_{xx} = u_t </tex> , <tex> x \in [0,1] </tex> <tex>
\left\{ \begin{array}{cc} 
 u(x,0) = x \\
 u(0,t)=1 \\
 u_x(1,t)=1 \\
\end{array} \right.</tex> 

  * **P3)** Resolver <tex>5y +y' + 6 \int _0^t y(x)dx = </tex> <tex>
\left\{ \begin{array}{cc} 
 1 \mbox{ para } |t|<1 \\
 0 \mbox{ para } |t|>1 \\
\end{array} \right.</tex> 

  * **T1)** Analizar <tex> \overline{f(z)} = f( \overline{z} ) </tex>=><tex> f(x) \in \mathbf R</tex>    <tex>(z= x + iy)</tex>
  * **T2)** Demostrar si es V o F: <tex> f(z) \in H/ z_{\infty} </tex>=><tex> R[f(z);z_{\infty}]=0</tex>
  * **T3)** Probar que <tex>\mathcal F(f * g) = \mathcal F(w).\mathcal G(w)</tex>
  * **T4)** Demostrar <tex> \mathcal L (J_1 (t)) = 1- \frac{p}{\sqrt{p^2+1}}</tex>
  * **T5)** Calcular <tex>\mathcal{L}[\ln t]=\frac{ \Gamma '(1)-\ln p}{p}</tex>


==== Resolucion ====
  * **P1)** <tex>\oint_{|z|=3} z^2.e^{\frac{1}{z}} dz = 2. \pi .i. R(0)</tex>
Para encontrar <tex>R(0)</tex> desarollar <tex>z^2.e^{\frac{1}{z}}</tex> en forma de serie, partiendo de la serie conocida de <tex>e^z</tex> luego de tener bien armada la serie calcular los primeros 4 terminos: SERIE = z^2 + z + 1/2 + 1/(6*z) + .... Lo que importa es que R(0) = 1/6 porque es el numero que acompaña al termino <tex>a_{-1}</tex> osea a 1/z
  * **P2)** Proponer una v(x,t) que cumpla:<tex>
\left\{ \begin{array}{cc} 
 u(x,t) = v(x,t) + f(x) \\
 v_{xx} = v_t \\
 v(0,t)=0 \\
 v_x(1,t)=0 \\
\end{array} \right.</tex> 

Trabajando con estas ecuaciones y las de u(x,t) se deduce que f(x)= x + 1
Ahora se sigue el ejercicio como todos los otros de la guia, pero en lugar de trabajar con u trabajando con v. Osea, se hace separacion de variables v(x,t) = X(x).T(t) y se sigue...........

  * **P3)** Hay que tomar la transformada de Laplace de ambos lados de la igualdad. Aplicando propiedades etc, etc.
  * **T1)** Yo llegue a que era VERDADERA. Dije esto:
<tex>z= x + iy \\
f(z)= u(x,y) + iv(x,y) </tex>

<tex>\overline {f(z)} = u(x,y) - iv(x,y) \\
{f(\overline z)} = u(x,-y) + iv(x,-y) \\</tex>
Las iguale y me quedaron estas 2 ecuaciones:
<tex>u(x,y) = u(x,-y) \\
v(x,y) = -v(x,-y) \\</tex>

Despues puse y=0 (porque el enunciado hablaba de <tex>f(x) \in \mathbf R</tex> ) y las ecuaciones quedaron asi:
<tex>u(x,0) = u(x,0) \\
v(x,0) = -v(x,0)</tex>  =>  <tex> v(x,0)=0</tex>  => <tex>f(x)= u(x,0) + i.0</tex> => <tex>f(x)\in \mathbf R</tex> 
  * **T2)** Es FALSA, contraejemplo <tex>f(z) =1/z</tex>
  * **T3)** Resolucion en el apunte de Sacerdotti Transformada de Laplace, pagina 30. El ejercicio pide con Transformada de Fourier y en el apunte esta hecho con la de Laplace pero es practicamente igual (creo).
  * **T4)** Resolucion en el apunte de Sacerdotti Transformada de Laplace, pagina 56. En realidad en el Apunte esta hecho para cualquier <tex> J_n (t)</tex> . En clase hicieron el ejercicio de la guia 9: Anexo\V\a que es muy parecido (en la carpeta de Brumosky esta).
  * **T5)** Resolucion en el apunte de Sacerdotti Transformada de Laplace, pagina 53.