====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ======
**Cátedra:** Grynberg\\
**Fecha:** 1° Recuperatorio - 2° Cuatrimestre 2008\\
**Día:** 12/11/2008\\
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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Lucas pasea por el zoológico de Londres. 2/3 de los visitantes del zoológico son turistas y 1/3 son londinenses. Cuando se les pregunta por una dirección los turistas dan respuestas correctas con probabilidad 4/5 (Las respuestas a perguntas repetidas son independientes, inclusive si la pregunta y la persona son las mismas). Los londinenses siempre dan respuestas falsas. Lucas le pregunta a un visitante si los rinocerontes estan para el Este o para el Oeste. La respuesta es: "Para el Este". Le pregunta de nuevo a la misma persona y recibe la misma respuesta. ¿Cual es la probabilidad de que la respuesta sea correcta?

==== Punto II ====

Sea U una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo <tex>(0.1)</tex>. Sea <tex>X</tex> la longitud del intervalo <tex>(0.U)</tex> o <tex>(U.1)</tex> que contiene al punto <tex>0.1</tex>. Hallar la funcion de distribución de <tex>X^2</tex>

==== Punto III ====

Sea <tex>(X.Y)</tex> un punto aleatorio con distribución uniforme en el triangulo de vértices <tex>(0.0)</tex>, <tex>(5.0)</tex>, <tex>(0.5)</tex>. Usando el número aleatorio <tex>0.9375</tex> simular un valor de la variable aleatoria <tex>X</tex>.

==== Punto IV ====

Una gallina pone huevos de acuerdo con proceso de Poisson de intensidad 12 por dia. De cada huevo nace un pollo con probabilidad 5/6 independientemente de los demas. Calcular la covarianza entre la cantidad de huevos que pone la gallina durante una semana y la cantidad de pollos nacidos esa semana.

==== Punto V ====

972 números se redondean al entero más cercano y se suman. Si los errores individuales de redondeo se distribuyen uniformemente sobre el intervalo (-0.5,0.5), aproxima la probabilidad de que la suma resultante difiera de la suma exacta en más de 9.

===== Resolución =====

==== Punto I ====

Defino:

<tex>A = \mbox{2 correctas}</tex>

<tex>B = \mbox{2 preguntas y misma persona}</tex> 

<tex>P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} </tex>

Realizando un diagrama del arbol, nos queda:

<tex>P(A|B) = \frac{\frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}}{\frac{1}{3} \cdot 1 \cdot 1 + \frac{1}{5}^2 \cdot \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5}^2} = 0.542</tex>

==== Punto II ====



==== Punto III ====

<tex>\mbox{Ancho} = 5 - x </tex>

<tex>\mbox{Area}= 12.5</tex>

Calculo la densidad como ancho sobre area:

<tex>f_x = \frac{5-x}{12.5} </tex> Si <tex>x \in [0.5]</tex>

<tex>\int_0^a f_x \cdot dx = 0.9375</tex>
<tex>-0.04a^2 + 0.4a -0.9375 = 0 \Rightarrow A = 3.75</tex>

==== Punto IV ====

Defino:

<tex> H = \mbox{Cantidad de huevos}</tex>

<tex> P = \mbox{Cantidad de pollos que nacieron}</tex>

<tex> X_i = \mbox{Probabilidad de nacer de cada pollo}</tex>

<tex>H \sim Poisson(12)</tex>

<tex>H \sim Ber(5/6)</tex>

<tex>E[H] = 12 \cdot 7 = 84</tex>

<tex>P = \sum_{i=1}^n x_i</tex>

<tex>E[x_i] = 5/6</tex>

<tex>E[P] = 70</tex>

<tex>E[H \cdot P] = E[E[P \cdot H | H ] = E[H \cdot E[P|H] = \frac{5}{6} \cdot E[H^2]</tex>

<tex>V[H] = E[H^2] - E[H]^2 \Rightarrow E[H^2] = 7140 \Rightarrow E[H \cdot P] = 5960</tex>

<tex>Cov(H,P) = E[H \cdot P] - E[H] \cdot E[P] = 70 </tex>

==== Punto V =====

<tex>X_i \sim U(-0.5;0.5) </tex> 

<tex> E[xi] = 0</tex>

<tex> V[xi] = \frac{1}{12}</tex>

<tex> S_n= \sum_{i=1}^{192} x_i</tex>

Hay que calcular via teorema central del limite:

<tex>P(|Sn|>9) </tex>