====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ====== **Cátedra:** Rey\\ **Fecha:** 1° Recuperatorio - 1° Cuatrimestre 2008\\ **Día:** 06/06/2008\\ Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Para el estreno de la película "Los 4 fantásticos XXIV" , la empresa que fabrica los famosos huevitos con "sorpresa" decide lanzar una colección de muñequitos con los 4 personajes. Suponga que cada vez que se compra un huevo, todos los personajes tienen igual probabilidad de aparecer y la aparición de los personajes en cada huevo se produce en forma independiente. Sea //N// la "cantidad de huevos que hay que comprar hasta completar la colección" (al menos uno de cada uno). Hallar la media y varianza de //N//. ==== Punto II ==== Se tienen 2 urnas . Cada una contiene 2 monedas falsas; en la urna 1 las monedas tienen probabilidad de cara //p1// y en la 2, //p2≠p1//.Puede optar por una de dos estrategias: *(**a**)Elegir una urna al azar y tirar ambas monedas. *(**b**)Elegir una moneda de cada urna y lanzarlas. Si se gana el juego cuando ambas monedas salen cara, defina cúal de las dos estrategias es más conveniente. ==== Punto III ==== Se tiene una barra de //N// metros de largo (//N// es un numero fijo). Se eligen dos puntos de corte al azar y en forma independiente. Al cortar, resultan 3 pedazos. Halle la probabilidad de poder formar un triángulo con dichos pedazos. ==== Punto IV ==== //X// e //Y// son U(0,1) e independientes. Sean //Q = Y - X// y //R = Y + X//. Hallar la covarianza entre //Q// y //R//.\\ ¿Qué puede decir sobre la independencia entre //Q// y //R//? ==== Punto V ==== Sean //X|K// VAs exponenciales de parámetro //λ=K//, donde //K// es una VA que toma los valores 1 ó 2 con igual probabilidad. *(**a**)Calcule //P(K=1|X=2)// *(**b**)Halle //E(e-5X)// *(**c**)Sea //L=K3//. De todas las funciones //g(L)//, encuentre una expresión explícita para la que minimiza //E[(X-g(L))2]// *(**d**)Halle la probabilidad de que el promedio de 50 valores de //X// i.i.d. sea mayor a 1 ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== Podemos definir a //N// como:\\ \\ N=1+X+Y+Z\\ \\ Donde: *\textstyle X\sim Geo(p=\frac34):cantidad de extracciones desde la primera hasta obtener el 2° muñeco *\textstyle Y\sim Geo(p=\frac12):cantidad de extracciones desde la (X+1)esima hasta obtener el 3° muñeco *\textstyle Z\sim Geo(p=\frac14):cantidad de extracciones desde la (X+Y+1)esima hasta obtener el 4° muñeco Entonces por propiedades de la esperanza:\\ \\ E[N]=1+E[X]+E[Y]+E[Z]\\ Como //X,Y,Z// poseen distribución //Geo//: \textstyle \mu_{geo}=\frac1p y \textstyle \sigma^2=\frac{1-p}{p^2}\\ Reemplazando:\\ \\ E[N]=1+\frac1{\frac34}+\frac1{\frac12}+\frac1{\frac14}=\frac{25}3=8.33\\ \\ Si asumimos que las tres variables son independientes, es decir no importa cuantos tiros hayamos hecho para sacar el próximo muñeco, entonces tendremos por propiedades de la varianza:\\ \\ \sigma_N^2=\sigma_X^2+\sigma_Y^2+\sigma_Z^2=\frac{1-\frac34}{\left( \frac34 \right)^2}+\frac{1-\frac12}{\left( \frac12 \right)^2}+\frac{1-\frac14}{\left( \frac14 \right)^2}=14.44 ==== Punto II ==== La estrategia más conveniente será aquella que tenga mayor probabilidad. Para ello definimos los siguentes eventos:\\ *G:Evento ganar\\ *U_i:Evento elegir urna i\\ *H_i:Evento sacar cara en la moneda iesima\\ Para la estrategia (**a**) tendremos por probabilidad total que la probabilidad de ganar será:\\ \\ P(G_a)=P(G \cap U_1)+P(G \cap U_2)\\ P(G_a)=P(G / U_1)\ P(U_1)+P(G / U_2)\ P(U_2)\\ P(G_a)=p_1^2\ \frac12+p_2^2 \ \frac12=\frac{p_1^2+p_2^2}2\\ Analogamente para la estrategia (**b**) la probabilidad de ganar será\\ \\ P(G_b)=P(H_1\cap H_2)=p_1 \cdot p_2\\ Operando con \textstyle P(G_a)\\ \\ P(G_a)=\frac{p_1^2+p_2^2}2=\frac{p_1^2+p_2^2-2\,p_1\,p_2+2\,p_1\,p_2}2=\frac{(p_1-p_2)^2}2+p_1\,p_2\\ \\ Es obvio que \textstyle \frac{(p_1-p_2)^2}2 es mayor a 0 por ende la estrategia (**a**) es la más conveniente ==== Punto III ==== Para que se forme un triangulo, la longitud de la suma de dos lados tiene que ser mayor a la longitud del tercer lado. Las ecuaciones nos quedan: y> 1-y x+1-y>y-x x<1-x Se puede calcular graficamente y el resultado da: \frac{1}{4} ==== Punto IV ==== ==== Punto V ==== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.