====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ======


**Cátedra:** Baliña\\

**Fecha:** Primer Recuperatorio - Primer Cuatrimestre 2008\\

**Día:** 27/05/2008\\

**Tema:** 2



===== Enunciado =====


  - Para completar un trabajo deben realizarse las operaciones <tex>A</tex>, <tex>B</tex> y <tex>C</tex> (en forma consecutiva). Los tiempos en días que tarda cada operación son VAN independientes de parámetros <tex> (10;1) </tex>; <tex> (12;0,8) </tex> y<tex> (16;3) </tex>. (a) Encontrar la probabilidad de que el tiempo total para completar el trabajo sea mayor de 42 días teniendo en cuenta que el tiempo que se demora para pasar de una operación a la siguiente es fijo de 1,5 días. (b) Calcular la probabilidad de que el tiempo desde el inicio de la operación A hasta el inicio de la operación C sea menor que el tiempo necesario para la ejecución de la operación C.
  - La cantidad de vehículos que pasan por un control policial por minuto tiene una dist. Poisson de media 10. Cada 2 minutos se controlan 4 vehículos. Se sabe que en promedio el 10% de los vehículos no están en condiciones de circular. Cuando un vehículo que es controlado no aprueba el control queda demorado. (a) Calcular la probabilidad de que en los próximos 4 minutos quede demorado por lo menos un vehículo. (b) ¿Cual es la probabilidad de que en el próximo minuto no pase ningún vehículo?
  - Se enfrentan en un partido de fútbol dos equipos con respectivas tasas de goles a favor por partido igual a dos. ¿Qué es más probable, que el partido termine empatado o no empatado?
  - Sea <tex> W = Max (X_1;X_2;\ldots;X_n) </tex>, donde las <tex> X_i</tex> tienen fdp <tex> U(0;b) </tex>. Obtener <tex> E(W) </tex>

===== Resolución =====


==== Punto I ====

<tex>A : t</tex> en días  <tex>N(10;1)</tex>

<tex>B : t</tex> en días  <tex>N(12;0.8)</tex>

<tex>C : t</tex> en días  <tex>N(10;3)</tex>

===(a)===

<tex>w : t\:total\:para\:completar\:el\:trabajo\;N(10;1)</tex>

<tex>w = A+1.5+B+1.5+C = A+B+C+3</tex>

<tex>\mu_w = \mu_A+\mu_B+\mu_C+3 = 10+12+16+3 = 41</tex>

<tex>\sigma_w = \sqrt[2]{\sigma_A^2+\sigma_B^2+\sigma_C^2}=\sqrt[2]{1^2+(0.8)^2+3^2}=3.2619</tex>

<tex>z= \frac{w-\mu_w}{\sigma_w}=\frac{42-41}{3.2619}=0.3066</tex>

<tex>P(w>42)=P(z>0.3066)=1-F(z=0.3066)=1-0.6217=0.3783</tex>

===(b)===

<tex>A+1.5+B+1.5<C</tex>

<tex>x = A+B-C+3<0</tex>

<tex>\mu_x = \mu_A+\mu_B-\mu_C+3 = 10+12-16+3 = 9</tex>

<tex>\sigma_x = \sqrt[2]{\sigma_A^2+\sigma_B^2+{-1}^2\sigma_C^2}=\sqrt[2]{1^2+(0.8)^2+3^2}=3.2619</tex>

<tex>z= \frac{x-\mu_x}{\sigma_x}=\frac{0-9}{3.2619}=-2.75913</tex>

<tex>P(w<0)=P(z<-2.75913)=F(z=-2.75913)=0.0029</tex>



==== Punto II ====

<tex>x:</tex>Cantidad de vehículos que pasan por un control por minuto

Como la media es <tex>10 => \mu=t\lambda =1\lambda=10 => \lambda =10</tex>

<tex>P_{po}(x|t=1;\lambda=10) = \frac{(t\lambda)^x e^{-t\lambda}}{x!} = \frac{10^x e^{-10}}{x!}</tex>

=== (a) ===

<tex>y:</tex>Cantidad de vehículos demorados en 4 minutos

<tex>P(y\geq1)=1-P(y=0)</tex>

<tex>P(y)</tex> está dado por una dist. Binomial <tex>P_{Bi}(r|p;n)={n \choose r}p^r(1-p)^{n-r}</tex>, donde <tex>p</tex> es la probabilidad de éxito es decir la probabilidad de que un vehículo no esté en condiciones o sea <tex>p=0.1</tex> . Y <tex>n</tex> es la cantidad de ensayos, en este caso sería la cantidad de vehículos controlados o sea <tex>n=8</tex> (porque se controlan 4 cada 2 minutos y se están tomando 4 minutos).

<tex>P_{Bi}(r=0|p=0.1;n=8)=\frac{8!}{0! (8 - 0)!}(0.1)^0(1-0.1)^{8-0}=(0.9)^8=0.43047</tex>
 
<tex>P(y\geq1)=1-P(y=0)= 1-0.43047=0.5695</tex>

=== (b) ===

<tex>P_{po}(x=0|t=1;\lambda=10) = \frac{(t\lambda)^x e^{-t\lambda}}{x!} = \frac{10^0 e^{-10}}{0!}=e^{-10}</tex>


==== Punto III ====

<tex>A:</tex> goles del primer equipo

<tex>B:</tex> goles del segundo equipo

<tex>P(Empate)=</tex>

<tex>P(A=0 \cap B=0 \cup A=1\cap B=1 \cup \ldots \cup A=n \cap B=n)\underbrace{=}_{sucesos\:disjuntos}</tex>

<tex>P(A=0\cap B=0)+P(=1\cap B=1)+\ldots +P(A=n\cap B=n)\underbrace{=}_{sucesos\:independientes}</tex>

<tex>P(A=0)P(B=0)+P(=1)P(B=1)+\ldots +P(A=n)P(B=n)\underbrace{=}_{igual\:taza\:de\:gol}</tex>

<tex>P(A=0)^2+P(=1)^2+\ldots +P(A=n)^2=\sum_{i=0}^n{[P(A=i)]^2}</tex>

<tex>Si\;P(A)=P_{po}(A|\lambda =2; t =1.5h)=\frac{3^A e^{-3}}{A!}</tex>

<tex>P(Empate)=\sum_{i=0}^n{[P(A=i)]^2}=\sum_{i=0}^n{[\frac{3^i e^{-3}}{i!}]^2}\approx 0.167</tex>

<tex>=></tex> Es más probable que el partido no termine empatado


==== Punto IV ====

<tex>Sea\; f(x_i)=\left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{b} & \mbox{si } 0<x_i<b \\
0 & \forall \mbox{otro } x_i \end{array} \right.</tex>

<tex>Sea\; F(x_i)=\left\{ \begin{array}{ll} 
0 & \mbox{si } x_i<0 \\
\frac{1}{b}x_i & \mbox{si } 0<x_i<b \\
1 & \mbox{si } x_i>b \\ \end{array} \right.</tex>

Como los <tex>n</tex> valores <tex>x_i</tex> son independientes (porque no se aclara lo contrario) e identicamente distribuidos, se puede usar esta formula :

<tex>F(X_{max}=x)=[F(X=x)]^n</tex>

<tex>f(X_{max}=x)=n[F(x=X)]^{n-1}f(X=x)=n\frac{x^{n-1}}{b^n}</tex>

<tex>=>\; f(w)=\left\{ \begin{array}{ll} 
n\frac{w^{n-1}}{b^n} & \mbox{si } 0<w<b \\
0 & \forall \mbox{otro } w \end{array} \right.</tex>

<tex>E(w) = \int_0^b wf(w)dw = \int_0^b n\frac{w^{n}}{b^n} dw=\frac{n}{b^n}\frac{b^{n+1}}{n+1}=\frac{n}{n+1}b</tex>

===== Discusión =====


<note warning>

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