====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ======

**Cátedra:** Baliña\\
**Fecha:** Primer Recuperatorio - Segundo Cuatrimestre 2006\\
**Día:** 15/11/2006\\
**Tema:** 1

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===== Enunciado =====
  - Sea <tex>f(x)=U(0;1)</tex>. Sea <tex> f(y/x)=U(x;x+3)</tex>. Hallar la media de "<tex>Y</tex>".
  - Una máquina corta un rollo de tela cuando detecta una falla. La probabilidad de detectar cada falla vale <tex>0,95</tex>. Si la tasa de fallas por unidad de longitud del rollo de tela vale <tex>0,03</tex>; encontrar la función de probabilidad de la cantidad de fallas por rollo.
  - Determinado tipo de vehículo puede transportar hasta <tex>12 tn</tex> de carga. Si se van a transportar cajas con peso de media <tex>0,25 tn</tex> y desvío de <tex>0,03 tn</tex>, cuántas cajas deberán colocarse por vehículo si se desea una probabilidad menor del 1% de superar la capacidad de carga del camión?
  - Dada <tex>f(z)=N(0;1)</tex> y sabiendo que <tex>W=|Z|</tex>; encontrar el resultado numérico de <tex>P(w>2/w>1)</tex>.

===== Resolución =====



==== Punto I ====

Por definición <tex> f(x,y) = f(x)\cdot f(y/x)</tex>

Sean

<tex>f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 
1 & \mbox{si } 0<x<1 \\
 & \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. \qquad
f(y/x) = \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & \mbox{si } x<y<x+3 \\
 & \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. 
</tex> 

Se obtiene

<tex>f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & \mbox{si }  0<x<1 \, \wedge \, x<y<x+3\\
 & \\
0 & \forall \mbox{otro } x,y \end{array} \right. </tex>



<tex>f(y) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \,dx</tex>


<tex>f(y) = \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{y}{3} & \mbox{si } 0<y<1 \\
 & \\
\frac{1}{3} & \mbox{si } 1<y<3 \\
 & \\
\frac{4-y}{3} & \mbox{si } 3<y<4 \\
 & \\
0 & \forall \mbox{otro } y \end{array} \right. </tex>


<tex>E[y] = \int_{-\infty}^\infty y f(y) \,dy = 2</tex>





==== Punto II ====




==== Punto III ====
Para resolver este problema se supone que la cantidad de cajas es mayor a 30. Esto permite resolver el problema mediante el teorema central del límite; luego si se comprueba la hipotesis la cantidad calculada de cajas será válida.

Se debe calcular <tex>P(X>12)<0,01</tex> donde <tex>X:N(0,25n</tex>;<tex>0,03\sqrt{n})</tex> y <tex>n</tex> es la cantidad de cajas.

<tex>\displaystyle P(X>12) = 1 - P(X<12) = 1 - \Phi\left( \frac{12 - 0,25n}{0,03\sqrt{n}}\right) < 0,01 </tex>

<tex> 3,33n + 0,0999\sqrt{n} < 12 </tex>

<tex> n = 45 </tex>


==== Punto IV ====

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
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