====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ======

**Cátedra:** Baliña\\
**Fecha:** Primera Oportunidad - Segundo Cuatrimestre 2006\\
**Día:** 25/10/2006\\
**Tema:** 2


===== Enunciado =====
  - Sea <tex>f(x) = x</tex> en <tex>int (0;1)</tex> ; <tex>f(x) = 2-x</tex> en <tex>int (1;2)</tex> ; nula para el resto\\ Sea <tex>y = 0</tex> si <tex>0<x<0.5</tex> ; <tex> y = -0.5 + x </tex> si <tex>0.5<x>1.5</tex> ; <tex>y= 1</tex> si <tex>1.5<x<2</tex>\\ Encontrar <tex>E(y)</tex> y <tex>V(y)</tex>
  - La cantidad X de penales a favor por partido que se sancionan para determinado equipo tiene distribución <tex>Bi (2; 0.05)</tex>. El DT ha decidido mantener al mismo ejecutante de penales hasta que falle. En ese caso designa a un nuevo ejecutante, reemplazándolo cuando falle y así sucesivamente. La probabilidad de que un jugador (cualquiera) falle un penal vale <tex>0.20</tex>. Si el próximo torneo tiene 19 partidos cual es la probabilidad de que al finalizar el mismo, el DT haya cambiado al menos 1 vez al ejecutatne de penales?
  - Sea <tex>f(x;y)</tex> constante en el recinto limitado por los vertices de coordenadas <tex>(1;1);(1;2);(2;3)</tex>\\ Encontrar la <tex>f(w)</tex> si <tex>w = 2x - y</tex>
  - La cantidad de personas que suben a un ascensor en PB teine distribución <tex>Bi (5;0.8)</tex>. El peso en Kg de cada persona tiene distribución Gamma con <tex>\lambda = 0.15</tex> y <tex>k = 9</tex>. Si se sabe que el ascensor salio de PB llevando un peso inferior a 200Kg, cual es la probabilidad de que hayan subido menos de 4 personas?


===== Resolución =====

==== Punto I ====
<tex>f(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
x &   0<x<1  \\
 2-x & 1<x<2   \\
 0 &  \forall \mbox{ otro } x  \\
\end{array} \right.</tex>\\
<tex>y(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
0 &   0<x<0.5  \\
 -0.5 + x & 0.5<x<1.5   \\
 1 &  1.5<x<2 \\
\end{array} \right.</tex>\\
Primero voy a hallar el comportamiento de la funcion <tex>\frac{dy}{dx}</tex>\\
<tex>\frac{dy}{dx} =  \left\{ \begin{array}{ll} 
0 &   0<x<0.5  \\
 1 & 0.5<x<1.5   \\
 0 &  1.5<x<2 \\
\end{array} \right.</tex>\\
Los puntos que dividen ramas de <tex>f(x)</tex> son <tex>0; 1; 2</tex>\\
Los puntos que dividen ramas de <tex>y(x)</tex> son <tex>0; 0.5; 1.5; 2</tex>\\
Por lo tanto tendré que analizar por separado los intervalos: <tex>(0;0.5);(0.5;1);(1;1.5);(1.5;2)</tex>\\
  *Si <tex>0<x<0.5</tex>\\
<tex>f(x)=x</tex> y <tex>\frac{dy}{dx} = 0</tex>\\
En este intervalo como la derivada tiene valor nulo, vamos a tener un punto pesado en <tex>Y= 0</tex>\\
En donde <tex>P(Y=0)=\int_{0}^{0.5} f(x) \,dx =\int_{0}^{0.5} x \,dx = \left.\frac{x^2}{2} \right|_0^{0.5} = \frac{1}{8} </tex>\\
<tex>\Rightarrow P(Y=0) = \frac{1}{8}</tex> si <tex>y=0</tex>\\

  *Si <tex>0.5<x<1</tex>\\
<tex>f(x)=x</tex> y <tex>\frac{dy}{dx} = 1</tex>\\
<tex>f(y)= \frac{f(x)}{|\frac{dy}{dx}|} = x = y+0.5</tex>\\
<tex>\Rightarrow f(y) = y+0.5</tex> si <tex>0<y<0.5</tex>\\

  *Si <tex>1<x<1.5</tex>\\
<tex>f(x)=2-x</tex> y <tex>\frac{dy}{dx} = 1</tex>\\
<tex>f(y)= \frac{f(x)}{|\frac{dy}{dx}|} = 2-x = 2-(y+0.5)</tex>\\
<tex>\Rightarrow f(y) = 1.5-y</tex> si <tex>0.5<y<1</tex>\\

  *Si <tex>1.5<x<2</tex>\\
<tex>f(x)=2- x</tex> y <tex>\frac{dy}{dx} = 0</tex>\\
En este intervalo como la derivada tiene valor nulo, vamos a tener un punto pesado en <tex>Y= 1</tex>\\
En donde <tex>P(Y=1)=\int_{1.5}^{2} f(x) \,dx =\int_{1.5}^{2} 2-x \,dx = \left.2x-\frac{x^2}{2} \right|_{1.5}^{2} = \frac{1}{8} </tex>\\
<tex>\Rightarrow P(Y=1) = \frac{1}{8}</tex> si <tex>y=1</tex>\\
Por lo tanto la distribucion de <tex>Y</tex> quedaría:\\
<tex>f(y) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
y+0.5 &   0<y<0.5  \\
 1.5-y & 0.5<y<1   \\
 0 &  \forall \mbox{ otro } y  \\
\end{array} \right.</tex>\\
<tex>P(Y) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{8} &   y=0  \\
\frac{1}{8} & y=1   \\
 0 &  \forall \mbox{ otro } y  \\
\end{array} \right.</tex>\\
Entonces ya quedo todo preparado para calcular lo pedido en el enunciado\\
<tex>E(Y)=0\times\frac{1}{8} + 1\times\frac{1}{8}+\int_{0}^{0.5} y\times(y+0.5) \,dy + \int_{0.5}^{1} y\times(1.5-y) \,dy </tex>\\
<tex>E(Y)=\frac{1}{8}+\int_{0}^{0.5} (y^2+\frac{1}{2}y) \,dy + \int_{0.5}^{1} (\frac{3}{2}y -y^2) \,dy </tex>\\
<tex>\Rightarrow E(Y) = \frac{1}{2}</tex>\\
Luego:\\
<tex>V(Y) = E(y^2)-E(y)^2</tex>\\
En donde: <tex>E(y^2)=\frac{1}{8}+\int_{0}^{0.5} (y^3+\frac{1}{2}y^2) \,dy + \int_{0.5}^{1} (\frac{3}{2}y^2 -y^3) \,dy </tex>\\ ...<tex>E(y^2)=\frac{33}{64}</tex>\\
Asi lo que nos queda es:
<tex>V(Y) = \frac{33}{64}-(\frac{1}{2})^2</tex>\\
<tex>\Rightarrow V(Y) = \frac{17}{64}</tex>\\


==== Punto II ====
Me están pidiendo la probabilidad de que haya cambiado al menos una vez al ejecutante. Esto lo puedo pensar como <tex>1 - P(A)</tex> en donde <tex>A = </tex>"no cambiar de ejecutante"\\
Para que no cambie nunca en los 19 partidos, el ejecutante tiene que haber marcado todos los penales a favor.\\
Planteo una nueva distribucion <tex>Bi(n'; p')</tex> en donde <tex>n' = 19 \times 2 = 38</tex> y <tex>p' = 0.05 \times 0.2 = 0.01</tex>; esto ultimo sale de la probabilidad de que haya un penal y que lo falle\\
Por lo tanto la distribucion queda: <tex>Bi(38; 0.01)</tex>\\
Como habia pedido antes... calculo <tex>P(Y=0)</tex> utilizando la distribucion antes dada\\
<tex>P(Y=0) = 0.68 </tex> Esta sera la probabilidad de que en todo el torneo se conviertan todos los penales\\
<tex>1- P(Y=0) = 0.32</tex>\\
La probabiliada de que al finalizar el torneo, el mismo DT haya cambiado al menos 1 ve al ejecutatnte de penales es igual a 32%



==== Punto III ====

==== Punto IV ====

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>