====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ====== **Cátedra:** Baliña\\ **Fecha:** Primer Recuperatorio, Primer Cuatrimestre 2006\\ **Día:** 15/06/2006 Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Sea X una variable aleatoria uniforme en (-a;a) con (a>0) . Si y(x)=x^2 . Hallar f(y). ==== Punto II ==== Tres operarios A , B y C realizan c/u una tarea para completar un trabajo. Los operarios A y B comienzan simultaneamente sus tareas y cuando terminan comienza el operario C . Los tiempos en días que tarda cada operario son variables uniformes independientes U(2;3) ; U(1;3) ; U(1;2) para A , B y C respectivamente. Encontrar la fdp del tiempo total que se insume en completar el trabajo ==== Punto III ==== Una carpitería recibe tablas de tres aserraderos A , B y C . Las longitudes en metros de las tablas que entrega c/u tiene distribución normal con los siguientes paramentros respectivamente: N(3.5;0.25) , N(3.2;0.30) y N(3;0.40) . Encontrar la probabilidad de que la longitud de 30 tablas del proveedor A supere la longitud de 17 tablas del proveedor B más 13 del proveedor C . ==== Punto IV ==== Se enfrentan en un partido de fútbol dos equipos con respectivas tasas de goles a favor por partido igual a uno. Que es mas probable, que el partido termine empatado o no empatado? ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== Es un cambio de variable un poco trivial, lo único que hay que tener en cuenta es que el analizando el nuevo dominio (0; a^2) nos damos cuenta que obtenemos dos idénticos de probabilidad (-a;0) y (0;a) ya que en esos intervalos los valores de la derivada \textstyle \frac{dy}{dx} cambia de valor ya que 2x en (-a;0) es menor que cero y 2x en (0;a) es mayor que cero. Analizado por completo: * f(x) = \frac1{2a} para (-a;a) * \varphi (x) = Y = x^2 * \frac{d\varphi}{dx} = 2x f(y) = \frac{f(x)}{|\frac{d\varphi}{dx}|} evaluado en \varphi^{-1} Para (-a;0) = \frac{\frac1{2a}}{|-2x|} = \frac{\frac1{2a}}{2x} = \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}}; y (-a; 0) va a parar a (0;a^2). Para (0;a) = \frac{\frac1{2a}}{|2x|} = \frac{frac1{2a}}{2x} = \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}}; y (0;a) va a parar a (0;a^2). Entonces: f(y) = \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}} + \frac{\frac1{2a}}{2 \sqrt{y}}, para (0;a^2) Simplificando: f(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac1{2a \sqrt{y}} & \mbox{para }(0;a^2) \\ 0 & \mbox{para otro }y \end{array} \right. Listo el pollo. ==== Punto II ==== Este es el mas largo y quiza mas complicado de desarrollar y no equivocarse con las cuentas eh!! Primero vemos que nos dice que el chabón C no empieza hasta que no terminan A y B. Entonces vemos que el hecho de que quien termine mas tarde entre A y B nos va a dar el mayor primer tiempo, y ahí caemos que hay que sacar el máximo de los dos tiempos. Luego tenemos que a eso sumarle lo que tardara C y esto es un simple cambio bidimensional Z = X +Y. Habiendo simplificado vamos a la papota: * f(a) = U(2;3) * f(b) = U(1;3) * f(c) = U(1;2) Para conocer el maximo necesito conocer las F de A y B: * F(a) = x-2 * F(b) = \frac12 (x-1) Como son variables independientes pero tienen distinta f, el maximo es la \left( \prod F \right)^N (N=2 en este caso porque son dos variables), partidas en todos los minidominios que tenga (lo vemos mas adelante). Si tuviesen la misma f entonces hago sumatoria y elevo a la N. Examino los dominios y veo que: F_{max} = F_a F_b = \left\{ \begin{array}{ll} (x-2) \left( \frac12 (x-1) \right) & \mbox{para } 2 La primer multiplicación es para el primer minidomio, donde ambas f aportan probabilidad. La segunda solo aporta el muchacho B. f_{max} = \frac{dF_{max}}{dx} = \left\{ \begin{array}{ll} x-\frac32 & \mbox{para } 2 Ahora hay que sumar esto a la uniforme de C y listo. Como sabemos que son independientes las multiplicamos y obtenemos f(xy) = x- \frac32 para 2 y 1. Para obtener X+y hago el cambio de variable: u = x + y; v = x \iff x = v; y = u - v Obtengo el jacobiano de la transformación = \left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right| = 1. f(u,v)= v- \frac32 = \frac{f(xy)}{\left| \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} \right|} Ahora, necesito en realidad f(u) que es f(x+y). Integro f(uv) = v- \frac32 en (-\infty, \infty) y listo, viendo el dominio, que hubo que hacerle la transformación y quedo asi, encerrado entre: D(u,v) = \left\{ \begin{array}{l} v = 2; \\ v = 3; \\ u = v+1; \\ u = v+2. \end{array} \right. Queda algo asi: set xrange [1:4] set parametric plot [2:3] t,t+1 , t,t+2 , 2,t+1 , 3,t+2 Luego de integrar f(u) queda partida para 3 y 4 Las integraciones: * \int_2^{u-1} f(uv) \,dv \Longrightarrow termina yendo a 3. * \int_{u-2}^3 f(uv) \,dv \Longrightarrow termina yendo a 4. ==== Punto III ==== Este problema es más vuelta que otra cosa, hay que usar el tema de que combinación lineal de Normales es normal y suma de normales es normal. A saber: * P(30\mbox{ Normales A} > 17 \mbox{ Normales B} + 13 \mbox{ NormalesC}) = P(\sum^{30} \mbox{Norm A} > \sum^{17} \mbox{NormB} + \sum^{13} \mbox{NormC}) * \sum^{30} \mbox{Norm A} = J = N(30 \mu (A); \sqrt{30 \sigma(A)}) * \sum^{17} \mbox{Norm B} = K = N(17 \mu (B); \sqrt{17 \sigma(B)}) * \sum^{13} \mbox{Norm C} = L = N(13 \mu (C); \sqrt{13 \sigma(C)}) \Longrightarrow queda P(J>K+L) Defino I = K+L = N(\mu (K) + \mu (L); \sqrt{\sigma (K) + \sigma (L)}); \Longrightarrow queda P(J>I) \Longrightarrow P(J-I>0) Defino T = N(\mu (P) - \mu (I) ; \sqrt{\sigma (P) + \sigma (I)}); \Longrightarrow queda P(T>0) Haciendo todas las cuentas queda T = N(11.6; 2.34) y el resultado del problema es 1, que sale de hacer el cambio \textstyle Z=(T- \frac{11.6}{2.34}) y evaluar Z(0) y esto lo sacamos de la tabla de Normal. Sí, la probabilidad da 1. (Aunque ud no lo crea) ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.