====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ======

**Cátedra:** Baliña\\
**Fecha:** Primera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2006\\
**Día:** 18/05/2006\\
**Tema:** 1





===== Enunciado =====

  - La cantidad de crías que tiene una determinada especie de ave tiene dist <tex>Bi (n=4 </tex>;<tex> p=0,5)</tex>. Encontrar 1a función de probabilidad de la cantidad de nidos que habrá que inspeccionar hasta encontrar l0 nidos con al menos 2 crías.
  - Sea <tex>X</tex> una variable discreta Uniforme para <tex>x =  1, 2 , 3</tex>. Sea <tex>Y</tex> una variable discreta Uniforme para <tex>y = 1 , 2 , 3 </tex> . Sean <tex>X</tex> e <tex>Y</tex> independientes. Encontrar <tex>P(W)</tex> y <tex>E(W)</tex> si <tex>W = Maximo (X; Y)</tex>. 
  - Sea <tex>f(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
kx &   0<x<1 , \\
 k & 1<x<2 ,  \\
 0 &  \forall \mbox{ otro } x . \\
\end{array} \right. \qquad Y(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
3 - x &   x<1 ,\\
x - 1 & x>1 ,\\
 0 &  \forall \mbox{ otro } x . \\
\end{array} \right.</tex> Encontrar: <tex>f(Y)</tex> y su media.
  - Sea <tex>X</tex> la cantidad de operaciones que se realizan por día en un quirófano con <tex>P(X=1) = 0,10 \  P(X=2)=0,20 \  P(X=3) = 0,30 \  P(X=4) = 0,40</tex>. La duración de cada operación es una exponencial de media una hora. Encontrar la función de probabilidad del tiempo diario de ocupación del quirófano.


===== Resolución =====


==== Punto I ====

Lo que plantea el problema es la aplicación de un distribución Poisson donde la probabilidad de dicha distribución se obtiene mediante un distribución Binomial.\\

Se plantea <tex>X</tex> como la distribución binomial, <tex>X:Bi(4,0.5)</tex> que permitirá conocer la probabilidad de encontrar al menos dos crías en un nido:

<tex>P(x \geq 2) = 1 - (P(X=0)+P(X=1)) = 1 -  (0.5)^4 - 4(0.5)^4 =  0.6875 </tex>

Entonces ahora <tex>p = 0.6875</tex> es la probabilidad de que exista un éxito de la distribución Pascal (<tex>Y:Pa(10,p)</tex>). \\ Es decir, dada la probabilidad de encontrar al menos 2 crías en un nido, uso una Pascal para determinar cuantos nidos deberé revisar hasta obtener 10 que tengan al menos dos crías.
<tex>Y</tex> es la función de probabilidad buscada. Esta se puede escribir de la siguiente forma:

<tex>P(y) = {y - 1 \choose 9} (0.6875)^{10}(0.3125)^{y - 10} \qquad \mbox{para } y \geq 10</tex>




==== Punto II ====

<tex>  P(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & x = 1\\
$ $ $ $ \\
\frac{1}{3} & x = 2\\
$ $ $ $ \\
\frac{1}{3} & x = 3\\
\end{array} \right. \qquad P(y) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & y = 1\\
$ $ $ $ \\
\frac{1}{3} & y = 2\\
$ $ $ $ \\
\frac{1}{3} & y = 3\\ \end{array} \right. </tex>

<tex>   F(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
0 & x < 1\\
$ $ $ $ \\
\frac{1}{3} & 1 \leq x < 2\\
$ $ $ $ \\
\frac{2}{3} & 2 \leq x < 3\\
$ $ $ $ \\
1 & x \geq 3\\
\end{array} \right. \qquad  F(y) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
0 & y < 1\\
$ $ $ $ \\
\frac{1}{3} & 1 \leq y < 2\\
$ $ $ $ \\
\frac{2}{3} & 2 \leq y < 3\\
$ $ $ $ \\
1 & y \geq 3\\
\end{array} \right. </tex>

<tex>F_{max} = P(x \leq w \cap y \leq w) \underbrace{=}_{(1)} P(x \leq w)P(x \leq w) =F_x(w)F_y(w)</tex>

<tex>(1)</tex> Esta igualdad se da porque son sucesos independientes.

<tex>   F(w) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
0 & w < 1\\
$ $ $ $ \\
\frac{1}{9} & 1 \leq w < 2\\
$ $ $ $ \\
\frac{4}{9} & 2 \leq w < 3\\
$ $ $ $ \\
1 & w \geq 3\\
\end{array} \right. \qquad  P(w) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
0 & w = 1\\
$ $ $ $ \\
\frac{3}{9} & w = 2\\
$ $ $ $ \\
\frac{5}{9} & w = 3\\
\end{array} \right. </tex>

<tex> E(w)= 1\times \frac{1}{9} + 2\times \frac{3}{9} + 3\times \frac{5}{9} = \frac{22}{9}</tex>


<plot>
set xrange[0:4]
set yrange[0:1.2]
set samples 4000
set dummy w
F(w) = ((w<1)? 0:(w<2)? 1.0/9.0:(w<3)? 4.0/9.0:1)
plot F(w)
</plot>






==== Punto III ====

Se obtiene <tex>k</tex> sabiendo que <tex>\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1</tex>

<tex>\Rightarrow \int_{0}^{2} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} kx \, dx + \int_{1}^{2} k \, dx = \frac{k}{2} + k =1 </tex>
<tex>\Rightarrow k = \frac{2}{3}</tex>

<tex> \Rightarrow   f(x) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{2x}{3} &   0<x<1 , \\
 &   \\
\frac{2}{3} & 1<x<2 ,  \\
 &   \\
 0 &  \forall \mbox{ otro } x . \\
\end{array} \right.</tex>

Se sabe que dadas <tex>f_X(x)</tex> e <tex>y(x)</tex>, podemos obtener <tex>f_Y(y)</tex> mediante:

<tex>f_Y(y) = \frac{f_X(x)}{\left|\frac{dy}{dx}\right|}</tex>

Entonces para <tex>0<y<1</tex>

<tex>f(y) = \frac{\frac{2}{3}}{|1|}</tex>\\

Para <tex>2<y<3</tex>

<tex>f(y) = \frac{\frac{2}{3}(3 - y)}{|-1|}</tex>\\

Entonces:

<tex> \Rightarrow   f(y) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{2}{3} &   0<y<1 , \\
 &   \\
\frac{2}{3}(3 - y) & 2<y<3 ,  \\
 &   \\
 0 &  \forall \mbox{ otro } y . \\
\end{array} \right.</tex>


<tex>E(y)=\frac{2}{3}\int_0^1 y dy + \frac{2}{3} \int_2^3 y(3-y) dy=1.11</tex>




==== Punto IV ====

<tex>f_d(t) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
e^{-t} &   t > 0 , \\
$ $ $ $ \\
0 & t < 0 .  \
\end{array} \right.</tex>

<tex>f_d(t)</tex> es la función de densidad de probabilidad de la duración de cada operación.

Se define <tex>D</tex> como el tiempo diario de duración.

<tex>P(D<t) = P(D < t \, \cap \, E)</tex>

<tex> = P(D < t  \, \cap  \, 1)+P(D < t  \, \cap  \, 2)+P(D < t  \, \cap  \, 3)+P(D < t  \, \cap  \, 4) </tex>


Donde <tex>P(D)</tex> es la función de probabilidad acumulada, <tex>E</tex> es el espacio muestral y <tex>1,2,3,4</tex> representan a los días 1,2,3 y 4 respectivamente.\\

Luego:\\

<tex>P(D<t) =  P\left(\frac{D<t }{1}\right)P(1) + P\left(\frac{D<t}{2}\right)P(2) + P\left(\frac{D<t}{3}\right)P(3) + P\left(\frac{D<t}{4}\right)P(4)</tex>

Sabiendo que al derivar la <tex>P(D)</tex> obtenemos la función de distribución pretendida (<tex>f_D(t)</tex>) se procede de la siguiente manera:\\

<tex>f_D(t) = f_1(t)P(1) + f_2(t)P(2) + f_3(t)P(3) + f_4(t)P(4)</tex>

Donde <tex>f_i(t)</tex> es un Gamma de variables <tex> k = i </tex>  y <tex>\lambda = 1</tex>

<tex>\Rightarrow f_D(t) = \frac{e^{-t}}{10} + 2t\frac {e^{-t}}{10} + \frac{3}{2}t^2\frac{e^{-t}}{10} + \frac{2}{3}t^3\frac{e^{-t}}{10}</tex>

<tex> \Rightarrow   f_D(t) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{e^{-t}}{10}\left(\frac{2}{3}t^3 + \frac{3}{2}t^2 + 2t + 1\right) &   t > 0 , \\
  & \\
0 & t < 0 .  \
\end{array} \right.</tex>



===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>