====== Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B ======

**Cátedra:** Baliña\\
**Fecha:** Primer Oportunidad, Primer Cuatrirmestre 2006\\
**Día:** 18/05/2006

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Sea <tex> f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} k & \mbox{si } 0<x<1 \\ kx^2 & \mbox{si } 1<x<2 \\ 0 & \forall \mbox{ otro } x \end{array} \right.</tex>

Sea  <tex> y(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 4-x & \mbox{si } x<1 \\ x-2 & \mbox{si } x>1 \end{array} \right.</tex>

Encontrar <tex> f(y)</tex> **y su media.**

==== Punto II ====

Sea <tex> f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 
x & \mbox{si } 0<x<1 \\
2-x & \mbox{si } 1<x<2 \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right.</tex>

Sea <tex>f(y)</tex> uniforme en <tex>(0;2)</tex>. **Encontrar** <tex>F(W)</tex> **si** <tex>W = \max(X,Y)</tex> **con** <tex>X</tex> **e** <tex>Y</tex> **independientes.**


==== Punto III ====

Sea <tex>X</tex> la cantidad de vueltas que realiza por día un helicóptero con <tex>P(X=0)=0.1</tex>, <tex>P(X=1)=0.2</tex>, <tex>P(X=2)=0.3</tex>, <tex>P(X=3)=0.4</tex>. La duración de cada vuelo es exponencial de media 30 minutos. **Encontrar la probabilidad de que el tiempo total de vuelo en un día supere las 2 horas.**

==== Punto IV ====
La cantidad de frutos que tiene una planta tiene distribución <tex>Bi(n=40;p=0,5)</tex>. **Encontrar la función de probabilidad de la cantidad de plantas que habrá que inspeccionar hasta encontrar 5 con al menos 20 frutos.**

===== Resolución =====

==== Punto I ====

<tex>f(Y=y) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & \mbox{si } y<-1 \\ k(y+2)^2 & \mbox{si } -1<y<0 \\ 0 & \mbox{si } 0<y<3 \\ k & \mbox{si } 3<y<4 \\ 0 & \mbox{si } y>4 \end{array} \right.</tex> con <tex>k=\frac{3}{10}</tex>.

<plot>
set zeroaxis
set samples 1000
set xlabel "y"
set ylabel "f(Y=y)"
plot [-2:5][-1:2] ((x>4)||(x<-1)||((x<3)&&(x>0)))? 0 : (((x>-1)&&(x<0))? (3.0/10)*(x+2)*(x+2) : (3.0/10))
</plot>







==== Punto II ====

Sea <tex>Y = \max(X_1,X_2,\dots,X_n)</tex> sinedo las <tex>X_i</tex> variables independientes, cada una con su propia distribución. Se define

<tex> F_Y (y) = \prod_{i=1}^n F_{X_i} (y)</tex> 

Donde <tex>F_y (y)</tex> es la distribución de probabilidad acumulada a izquierda de la variable <tex>Y</tex>.

En el caso de este problema se tiene <tex>W = \max(X,Y)</tex>. Entonces

<tex> F_W (x) = F_X(x) \cdot F_Y(x)</tex> 


<tex> f_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 
x & \mbox{si } 0<x<1 \\
2-x & \mbox{si } 1<x<2 \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. \qquad f_Y(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{2} & \mbox{si } 0<x<2 \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. </tex>


<tex>  F_X(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{x^2}{2} & \mbox{si } 0<x<1 \\
\frac{2-(2-x)^2}{2} & \mbox{si } 1<x<2 \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. \qquad F_Y(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{x^2}{4} & \mbox{si } 0<x<2 \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right.</tex>


<tex>  F_W(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{x^4}{8} & \mbox{si } 0<x<1 \\
\frac{-x^4+4x^3-2x^2}{8} & \mbox{si } 1<x<2 \\
0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right.</tex>




==== Punto III ====

<tex>f_d(t) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{e^{-\frac{t}{30}}}{30} &   t \geq 0 , \\
0 & t < 0 . \end{array} \right.</tex>

<tex>f_d(t)</tex> es la función de densidad de probabilidad de la duración de cada vuelo.

Se define <tex>D</tex> como el tiempo diario de duración.

<tex>P(D<t) = P(D < t \, \cap \, E) = </tex>

<tex> \qquad = P(D < t  \, \cap  \, 0)+P(D < t  \, \cap  \, 1)+P(D < t  \, \cap  \, 2)+P(D < t  \, \cap  \, 3) </tex>


Donde <tex>P(D)</tex> es la función de probabilidad acumulada, <tex>E</tex> es el espacio muestral y <tex>0,1,2,3</tex> representan a las vueltas 0,1,2 y 3 respectivamente.\\

Luego:\\

<tex>P(D<t) =  P\left(\frac{D<t }{0}\right)P(0) + P\left(\frac{D<t}{1}\right)P(1) + P\left(\frac{D<t}{2}\right)P(2) + P\left(\frac{D<t}{3}\right)P(3)</tex>

Sabiendo que al derivar la <tex>P(D)</tex> obtenemos la función de distribución pretendida (<tex>f_D(t)</tex>) se procede de la siguiente manera:\\

<tex>f_D(t) = f_0(t)P(0) + f_1(t)P(1) + f_2(t)P(2) + f_3(t)P(3)</tex>

Donde <tex>f_i(t)</tex> es un Gamma de variables <tex> k = i+1 </tex>  y <tex>\lambda = \frac{1}{30}</tex>

<tex>\Rightarrow f_D(t) = \frac{e^{-\frac{t}{30}}}{300}\left(1 + \frac{t}{15} + \frac{t^2}{600} + \frac{t^3}{40500} \right)</tex>

<tex> \Rightarrow   f_D(t) =  \left\{ \begin{array}{ll} 
\frac{e^{-\frac{t}{30}}}{300}\left(1 + \frac{t}{15} + \frac{t^2}{600} + \frac{t^3}{40500} \right) &   t \geq 0 , \\
  & \\
0 & t < 0 .  \
\end{array} \right.</tex>


==== Punto IV ====

En primer lugar hay que determinar el tipo de variable que vamos a usar: en este caso, una Pascal.

PAS = Cantidad de plantas a inspeccionar hasta encontrar 5 con al menos 20 frutos.

<tex> f(PAS = n) = {n-1 \choose 4} \cdot (1 - p)^{n-5} \cdot p^{5} </tex>

p es la probabilidad de encontrar al menos 20 frutos en un árbol => calculo p.

<tex> P(\mbox{cant frutos} \geq 20) = 1 - P(\mbox{cant frutos} \leq 20) = 1 - \sum_{i = 0}^{19} P(\mbox{cant frutos} = i) </tex>

Donde <tex>P(\mbox{cant frutos} = i) = {40 \choose i} \cdot 0.5^i \cdot 0.5^{40 - i} </tex>

Ejemplo: <tex>P(\mbox{cant frutos} = 5) {40 \choose 5} \cdot 0.5^5 \cdot 0.5^{35} = 5.98x10^{-7}</tex>

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
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