====== Examen Parcial - 61.08. Àlgebra - Sin datos de fecha ni tema ======
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===== Enunciado =====
1) (a) Sea A \in \mathbf R^{nxn} una matriz de rango m y A=QR una descomposición QR normalizada de A, i) ¿qué dimensión y qué rango tiene R?, ii)deducir que A^T A=R^T R y que A^T A es inversible.
(b) Sabiendo que \left[
{\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
-1 & 1 \\
1 & 0
\end{array}}
\right]
\left[
{\begin{array}{ccc}
\sqrt{3} & -\sqrt{3} & 0 \\
0 & \sqrt{2} & -2\sqrt{2}
\end{array}}
\right]
y
b=[
\begin{array}{ccc}
\sqrt{3} & -\sqrt{3} & \sqrt{3}
\end{array}
]^T
,hallar la matriz de proyección a col(A) y todos los x \in \mathbf R^3 que minimicen \Vert Ax-b \Vert.
2) (a) Sea T \in \mathcal L (V,W) y (\cdot,\cdot)_W un producto interno en W. Demostrar que (x,y)_V = (T(x),T(y))_W, es un producto interno en V si y sólo si T es inyectiva.
b) Demostrar que (x,y)=X^T A^T Ay con A=\left[
{\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & 2 \\
0 & 1
\end{array}}
\right]
es un producto interno en \mathbf R^2. (Sugerencia: use (a)).
3)Sean B=\{v_1;v_2;v_3\} y C=\{w_1;w_2;w_3\} bases de los espacios vectoriales V y W respectivamente.
(a)Justificar la existencia de una única transformación lineal T:V \rightarrow W que verifica T(v_1+2v_2)=w_1+w_2+w_3, T(v_1+v_2)=w_1-2w_2+w_3 y T(v_1-v_3)=2w_1-w_2+2w_3 y encontrar bases de Nu(T) y de Im(T).
(b) Encontrar bases D de V y E de W tales que [T]_{DE} tenga tantas columnas y filas nulas como sea posible.
4)Sea T \in \mathcal L (\mathcal P_2,\mathbf R^{2x2}) definida por T(a_0 + a_1 t + a_2 t^2=a_0 B + a_1 B A + a_2 B A^2 con B \in \mathbf R^{2x2} inversible y A=
\left[
{\begin{array}{cc}
1 & \alpha \\
-\alpha & 1
\end{array}}
\right].
(a) Hallar los valores de \alpha para los cuales dim(Nu(T))=1
(b) Considerando B=1, \alpha = 1 y el producto interno en \mathbf R^{2x2}, (M,N)=m_{11} n_{11}+m_{12} n_{12}+m_{21} n_{21}+m_{22} n_{22}, expresar C=
\left[
{\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
0 & 0
\end{array}}
\right]
como C=C_1+C_2, con C_1 \in Im(T) y C_2 \bot Im(T)
**El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.**
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