====== Examen Parcial - 61.03. Algebra II -  ======

**Cátedra:** Todas\\ 
**Fecha:** 2da Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2011\\ 
**Día:** 12/11/2011

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====
Sea <tex> E = \left \{ e_1,e_2,e_3 \right \} </tex> la base canónica de <tex>R^3</tex> y sea <tex>f:R^3 \to R^3</tex> tal que <tex>f(x)=Ax</tex> donde <tex> A = \begin{pmatrix}  1 & 2 & 3\\ 1 & -3 & -2\\ -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}</tex>. ¿Existen isomorfismos lineales <tex>g:R^3 \to R^3</tex> y <tex>h:R^3 \to R^3</tex> tales que <tex>[g o f o h]_{E,E}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</tex>? En caso afirmativo, calcular <tex>[g^{-1}]_{E,E}</tex> y <tex>[b]_{E,E}</tex> para algunos de estos isomorfismos.

==== Punto II ====
En <tex>R^3</tex>, consideramos el producto interno canónico. Dados <tex>x_{0}=[2,2,1]^t</tex> y <tex> S = \left \{ x \in R^{3} : x_{1} + x_{2} - 2x_{3} = 0 \right \} </tex>, encontrar, si existen, todos los <tex>x \in S</tex> tales que:
  - <tex>||x||=1 </tex>
  - El ángulo formado entre <tex>x</tex> y <tex>x_0</tex> es <tex>\frac{\pi}{6}</tex>

==== Punto III ====
Sea <tex>(.,.)</tex> el producto interno en el espacio <tex> C^{6}[(-1,1],R] </tex> dado por <tex>(f,g)= \int_{-1}^{1} \, f(x)g(x) \, dx </tex>. Sea V el subespacio de <tex> C^{6}[(-1,1],R] </tex> generado por <tex> f_{1},f_{2},f_{3} </tex> donde <tex>f_{1}(x)=1,f_{2}(x)=x,f_{3}(x)=|x|-\frac{1}{2}</tex> y sea <tex> \pi : V \to V </tex> una proyección de rango 1 tal que <tex>||\pi (f_1 - f_2)|| = ||f_{1} - f_{2}||</tex>. Calcular la matriz de <tex>\pi</tex> respecto de la base <tex> B = \left \{ f_1,f_2,f_3  \right \}</tex>.

==== Punto IV ====
Sea <tex>f:R^2 \to R^2</tex> tal que <tex>f(x) = (-\frac{3}{5}x_1 + \frac{4}{5}x_2 , \frac{4}{3}x_1 + \frac{2}{3}x_2)^t </tex>. Sabiendo que <tex>f</tex> es la simetría respecto de cierto subespacio S de <tex>R^2</tex>, encontrar todos los <tex>x \in R^2</tex> tales que <tex>d(x,S^{\perp}) = 2</tex>. (Considerar el producto interno canónico).

==== Punto V ====
Dada <tex> A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} </tex> y dado <tex> b = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} </tex>. Sean P y R las matrices de las proyecciones sobre el espacio columna de A y sobre el espacio fila de A, respectivamente. Encontrar todos los <tex> x \in R^2 </tex> que hacen mínima la norma <tex> ||P(ARx-b)|| </tex>. ¿Cuál es el valor mínimo de esta norma? (Considerar el producto interno canónico).


===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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