====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 02/11/2009 - Tema 1 ======

===== Enunciado =====


==== Ejercicio 1 ====

Sea <tex> C^0 ( \Re , \Re )</tex> el espacio vectorial real de las funciones continuas <tex> f: \Re \rightarrow \Re </tex> y sea <tex> C^1 ( \Re , \Re ) </tex> el espacio vectorial real de las funciones <tex> f: \Re \rightarrow \Re </tex> de clase <tex> C^1 </tex>.
Compruebe que la aplicación <tex> T:C^0 ( \Re , \Re ) \rightarrow C^1 ( \Re , \Re ) </tex> dada por <tex> T(f_(x)) = \int_0^1 f(t) dt </tex> es una transformación lineal bien definida y encuentre una transformación lineal <tex> L: C^1 ( \Re , \Re ) \rightarrow C^0 ( \Re , \Re ) </tex> tal que <tex> L o T = I </tex> ( = identidad en <tex> C^0 ( \Re , \Re )  </tex> ). ¿Es <tex> T </tex> un isomorfismo lineal? ¿Es <tex> L </tex> un isomorfismo lineal?





==== Ejercicio 2 ====

Sea <tex> ( . , . ) </tex> un producto interno en <tex>\Re^3</tex> para el cual <tex>B=\{u,v,w\}</tex> es una base ortonormal, donde <tex>u= \begin{bmatrix} {1} \\ {1} \\ {0}\end{bmatrix}  , v= \begin{bmatrix} {1} \\ {2} \\ {1}\end{bmatrix} </tex> y <tex> w= \begin{bmatrix} {1} \\ {1} \\ {1}\end{bmatrix}  </tex>. Dado <tex> S = gen \{ \begin{bmatrix} {0} & {1} & {0}\end{bmatrix} ^t \}</tex>, hallar todos los elementos <tex>x \in \Re^3</tex> que verifican <tex> (u,v)=0 </tex> y además <tex> d(x,S)=d(x,S^{\perp} )=\sqrt{2}</tex> (donde la distancia es la asociada al producto interno dado).



==== Ejercicio 3 ====

Encontrar todas las matrices <tex> M \in \Re^3x3 </tex> que verifican simultáneamente las siguientes tres condiciones: a) <tex>M^t = M </tex> , b) <tex>M^2 = M </tex> y c) <tex> M \begin{bmatrix} {1}\\ {1}\\ {1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {0}\\ {1}\\ {1} \end{bmatrix} </tex>



==== Ejercicio 4 ====

Dada la matriz <tex> A =  \begin{bmatrix}{1}&{2}\\{1}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix}</tex> , hallar todos los <tex> b \in \Re^3</tex> que verifican simultáneamente: (producto interno canónico): 1) <tex> \|P_{Nul(A^t)} (b) - P_{Col(A)} (b) \| = \sqrt{35} </tex> y 2) Para todo <tex> x \in \Re^2 : \|A \begin{bmatrix} {1}\\ {1} \end{bmatrix} - b \| \leq \| Ax - b \|  </tex>.


==== Ejercicio 5 ====

Sea <tex> M \in \Re^3x3 </tex> una matriz simétrica tal que <tex> M^2 = I </tex>. Sabiendo que el subespacio <tex> S = \{ x \in \Re^3 : M x + x = 0 \} </tex> tiene dimensión 2 y que <tex> M \begin{bmatrix} {1}\\ {-1}\\{1} \end{bmatrix} =  \begin{bmatrix} {1}\\ {-1}\\{1} \end{bmatrix} </tex>, calcular la matriz de la proyección (en <tex> \Re^3 </tex> ) sobre <tex> S^{\perp} </tex> respecto de la base canónica. (Considere el producto interno canónico).