====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 31/10/2009 - Tema 1====== ===== Enunciado ===== ==== Ejercicio 1: ==== Sea B=\{v_{1},v_{2},v_{3}\} una base de un espacio vectorial real V, sea S el subespacio de V generado por \{v_{1}+v_{2},v_{3}\} y sea T:V \rightarrow V una transformación lineal que verifica simultáneamente las siguientes tres condiciones: a) T \circ T = T b) Nu(T)=gen \{2v_{1}-v_{2}\} y c) S \subseteq IM(T) Calcular [T]_{B,B}. ¿Existe una única transformación lineal que verifique estas tres condiciones? ==== Ejercicio 2: ==== Determinar, si existen, todos los números reales \lambda para los cuales la fórmula (x,y)=x^{T} MM^{T} y define un producto interno en \Re^{3}, siendo M= \begin{bmatrix}{-1}&{-1}&{\lambda}\\{0}&{1}&{3}\\{1}&{1}&{-1}\end{bmatrix} ==== Ejercicio 3: ==== Determinar todos los números reales \lambda para los cuales existe una matriz de proyección M \in \Re^{3} (es decir: M^{2}=M y M^{T}=M) de rango 2 tal que M\begin{bmatrix}{1}\\{\lambda}\\{1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{0}\\{1}\\{0}\end{bmatrix}. Para cada \lambda encontrado, exhibir una matriz M que satisface estas condiciones. ==== Ejercicio 4: ==== Dada A \in \Re^{4x3}, sea P la matriz de proyección en \Re^{4} sobre Col(A) respecto de la base canónica (y el producto interno canónico). Sabiendo que A^{T}P= \begin{bmatrix}{0}&{0}&{1}&{0}\\{2}&{0}&{0}&{1}\\{0}&{2}&{1}&{0}\end{bmatrix} resolver Ax=\begin{bmatrix}{0}&{1}&{0}&{1}\end{bmatrix}^{T} por "cuadrados mínimos". ==== Ejercicio 5: ==== Sea (.,.) el producto interno en \Re^{2x2} dado por (X,Y)=tr(X^{T}Y). Calcule la distancia de la matriz identidad al subespacio S=gen \left[ \begin{bmatrix}{0}&{1}\\{1}&{1}\end{bmatrix} , \begin{bmatrix}{2}&{0}\\{0}&{1}\end{bmatrix} \right] .