====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 27/10/2007 ======

**Cátedra:** Indistinta\\ 
**Fecha:** 1° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2007\\ 
**Día:** 27/10/2007\\ 
**Tema:** 2\\ 

===== Enunciado =====

==== Punto I ====

  - Demuestre que <tex>\left\langle p,q \right\rangle =\int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt</tex> es producto interno en <tex>\mathcal{P}_n</tex> para todo <tex>n \in \mathbf{N}_0</tex>.
  - Considere en <tex>\mathcal{P}_3</tex> el p.i. definido en (a). Halle el elemento de de <tex>\mathcal{S}=\left\{ p \in \mathcal{P}_3: p=a+bt^2, \quad a,b \in \mathbf{R} \right\}</tex> más cercano a <tex>q=t^2+t^3</tex>.

==== Punto II ====

  - Sean <tex>P_1 \in \mathbf{R}^{n \times n}</tex> y <tex>P_2 \in \mathbf{R}^{nxn}</tex> matrices de proyección tales que <tex>P_1P_2=0</tex>.\\ Pruebe que <tex>P=(P_1-P_2)^2</tex> es matriz de proyección. (Sugerencia: calcule primero <tex>P_2P_1</tex>.)
  - Hallar los <tex>x \in \mathbf{R}^3</tex> que satisfagan simultáneamente:
    - <tex> \left\| Ax-b \right\| \leq \left\| Az-b \right\|</tex> para todo <tex>z \in \mathbf{R}^3</tex>.
    - <tex>x \in \mathrm{Fil}(A)</tex>,\\ siendo <tex>A= \left[ \begin{array}{lcr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right]</tex> y <tex>b=\left[ \begin{array}{c} 0 \\ 18 \\ 0 \end{array} \right]</tex>.

==== Punto III ====

Sea <tex>\mathcal{S}=\left\{ A \in \mathbf{R}^{2\times 2}:A^T=A \right\}</tex> y sea <tex>T \in \mathcal{L}\left( \mathcal{S},\mathbf{R}^{2\times 2} \right)</tex> definida por <tex>T(A)=AM+MA</tex>, con <tex>M= \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\2 & 1\end{array} \right]</tex>.\\ 
  - Probar que <tex>T</tex> es inyectiva, y que su imagen es <tex>\mathcal{S}</tex>.
  - Encontrar bases <tex>B</tex> de <tex>\mathcal{S}</tex> y <tex>C</tex> de <tex>\mathbf{R}^{2 \times 2}</tex> tales que <tex>[T]_{BC}</tex> tenga unos en la diagonal principal y ceros en el resto.

==== Punto IV ====

Sea <tex>B=\{v_1,v_2,v_3\}</tex> base de un <tex>\mathbf{R}</tex>-espacio vectorial <tex>V</tex>.
  - ¿Para qué valores de <tex>\alpha \in \mathbf{R}</tex> existe <tex>T \in \mathcal{L}(V)</tex> tal que:\\ <tex>T(v_2+ \alpha v_3)=v_1+\alpha v_2+v_3</tex>\\ <tex>T(v_1+v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3</tex>\\ <tex>T(v_1+ \alpha v_2+v_3)=\alpha v_1+ 2v_2</tex>?\\ ¿para cuáles de ellos es T única?
  - Hallar, de entre los valores de <tex>\alpha</tex> para los cuales la transformación <tex>T</tex> del punto (a) es única, aquéllos que verifican la condición <tex>\mathrm{Nu}(T)\neq 0</tex>. Para tales valores hallar bases de <tex>\mathrm{Nu}(T)</tex> y de <tex>\mathrm{Im}(T)</tex>.

**El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.**

===== Resolución =====


==== Punto I ====

  - <tex>T)</tex> <tex>\left\langle p,q \right\rangle =\int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt</tex> PI en <tex>\mathcal{P}_n</tex> con <tex>n \in \mathbf{N}_0</tex>.\\ <tex>D)</tex>\\ 
    - <tex>T_1)</tex> <tex>\left\langle p,q \right\rangle = \left\langle q,p \right\rangle</tex>\\ <tex>\begin{array}{lrcccc} D_1) & \left\langle p,q \right\rangle &  = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt & & \\ & \left\langle p,q \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! q(t)p(t) t^2 \, dt & = & \left\langle q,p \right\rangle \end{array}</tex>
    - <tex>T_2)</tex> <tex>\left\langle p, \alpha q \right\rangle = \alpha \left\langle p,q \right\rangle</tex>\\ <tex>\begin{array}{lrcl} D_2) & \left\langle p, \alpha q \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) \left( \alpha q(t) \right) t^2 \, dt \\ & & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! \alpha p(t) q(t) t^2 \, dt \\ & & = & \alpha \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) q(t) t^2 \, dt \\ & & = & \alpha \left\langle p,q \right\rangle \end{array}</tex>
    - <tex>T_3)</tex> <tex>\left\langle p, q + r\right\rangle = \left\langle p,q \right\rangle + \left\langle p,r \right\rangle</tex>\\ <tex>\begin{array}{lrcl} D_3) & \left\langle p, q + r \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) \left[ q(t) + r(t) \right] t^2 \, dt \\ & & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! \left[ p(t) q(t) t^2 + p(t) r(t) t^2 \right] \, dt \\ & & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) q(t) t^2 \, dt + \int_{-1}^1 \! \! \! p(t) r(t) t^2 \, dt \\ & & = & \left\langle p,q \right\rangle + \left\langle p,r \right\rangle \end{array}</tex>
    - <tex>T_4)</tex> <tex>\left\langle p, p \right\rangle \geq 0 \ \forall \ p \in \mathcal{P}_n</tex>\\ <tex>\begin{array}{lccccc} D_4) & \left\langle p,p \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! {\left[ p(t) \right]}^2 t^2 \, dt & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! {\left[ p(t) t \right]}^2 \, dt\\ \end{array}</tex>.\\ Lo que aquí tenemos es la integral de una funcón <tex>f = {\left( p(t)+ t \right)}^2 \geq 0 \ \forall \ t</tex>. Como la integral puede interpretarse geométricamente como el área bajo la curva que es gráfico de <tex>f</tex> (si <tex>f \geq 0</tex>), y como <tex>f \geq 0 \ \forall \ t</tex>, se desprende que dicha área será positiva, y por lo tanto también la integral, y entonces: <tex> \left\langle p , p \right\rangle \geq 0 \ \forall \ p \in \mathcal{P}_n</tex>.
    - <tex>H_5)</tex> <tex>p = 0</tex>\\ <tex>T_5)</tex> <tex>\left\langle p, p \right\rangle = 0</tex>\\ <tex>\begin{array}{lccc} D_5) & 0 & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! 0 t^2 \, dt \end{array}</tex>
    - <tex>H_6)</tex> <tex>\left\langle p, p \right\rangle = 0</tex>\\ <tex>T_6)</tex> <tex>p = 0</tex>\\ <tex>\begin{array}{lccccccccc} D_6) & 0 = &  \left\langle 0,0 \right\rangle & = & \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! {\left[ p(t) t \right]}^2 \, dt \end{array}</tex>.\\ Llamando <tex>F(t)</tex> a la primitiva de <tex>f={\left( p(t)+ t \right)}^2</tex>, es:\\ <tex>\begin{array}{ccccc} 0 & = & F(1) & - & F(-1)\\ & & F(1) & = & F(-1)\end{array}</tex>.\\ Por otro lado, sabemos que <tex>F</tex> es siempre creciente (o, a lo sumo, constante), pues su derivada, <tex>f = {\left( p(t)+ t \right)}^2</tex>, es mayor o igual a cero para todo <tex>t</tex>.\\ Es claro que en estas condiciones, debe ser <tex>F</tex> constante, pues <tex>F(1)=F(-1)</tex> y <tex>F' = f = {\left( p(t)+ t \right)}^2 \geq 0 \ \forall \ t</tex>. Luego, si\\ <tex>\begin{array}{ccccccc} F(t) & = & k & \Longrightarrow & F'(t) & = & 0 \\ F'(t) & = & f & = & {\left( p(t)+ t \right)}^2 & = & 0 \ \forall \ t \end{array}</tex>,\\ y como no es cierto que <tex>t^2 =0 \ \forall \ t</tex>,\\ debe ser <tex>p(t)=p=0 \ \forall \ t</tex>\\ Por cumplirse las seis condiciones expuestas, queda probado que <tex>\left\langle p,q \right\rangle =\int_{-1}^1 \! \! \! p(t)q(t) t^2 \, dt</tex> es producto interno en <tex>\mathcal{P}_n</tex> para todo <tex>n \in \mathbf{N}_0</tex>.
  - <tex>\mathcal{S}=\left\{ p \in \mathcal{P}_3: p=a+bt^2, \quad a,b \in \mathbf{R} \right\}</tex>. \\ El elemento <tex>s \in \mathcal{S}</tex> buscado es tal que\\ <tex>d\left( s, q \right) \leq d \left( x, q \right) \ \forall \ s \in \mathcal{S}</tex>\\ id est, <tex>s = P_\mathcal{S}q</tex>.\\
<tex>B = \left\{ t ; t^3 \right\}</tex> es base de <tex>\mathcal{S}</tex>.\\
Con el método de Gram-Schmidt puedo hallar una BOG((Base OrtoGonal)) de <tex>\mathcal{S}</tex>.\\
<tex>BOG = \left\{ t ; v_2 \right\}</tex>, donde\\
<tex>\begin{array}{ccccccc} v_2 & = \displaystyle  & t^3 - \frac{ \displaystyle \left\langle t , t^3 \right\rangle}{ \displaystyle \left\langle t , t \right\rangle} \cdot t & & & & \\
v_2 & = & \displaystyle  t^3 \frac{ \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! t^6 \, dt}{ \displaystyle \int_{-1}^1 \! \! \! t^4 \, dt} \cdot t & = &  \displaystyle t^3 - \frac{\frac{2}{7}}{\frac{2}{5}} \cdot t & = &  \displaystyle t^3-\frac{5}{7}t\end{array}</tex>\\ 
<tex>BOG=\left\{ t; t^3-\frac{5}{7}t \right\}</tex>\\
<tex>\begin{array}{ccccccc} P_\mathcal{S}q & = & s & = &  \displaystyle \frac{ \displaystyle \left\langle t , t^2 + t^3 \right\rangle}{ \displaystyle \left\langle t , t \right\rangle} \cdot t + \frac{ \displaystyle \left\langle t^3 -\frac{5}{7}t , t^2 + t^3 \right\rangle}{ \displaystyle \left\langle t^3 -\frac{5}{7}t , t^3 -\frac{5}{7}t \right\rangle} \cdot \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) & & \\ & & s & = &  \displaystyle \frac{ \displaystyle \int_{-1}^1 \!\!\! \left( t^3+t^4 \right) t^2 \, dt}{ \displaystyle \frac{2}{5}} \cdot t + \frac{ \displaystyle \int_{-1}^1 \!\!\! \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) \left( t^2 + t^3 \right) t^2 \, dt}{ \displaystyle \int_{-1}^1 \!\!\! {\left( t^3 -\frac{5}{7}t \right)}^2 t^2 \, dt} & & \\ & & s & = &  \displaystyle \frac{\frac{2}{7}}{\frac{2}{5}} t + \frac{\frac{8}{441}}{\frac{8}{441}} \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) & & \\ & & s & = & \displaystyle  \frac{5}{7}t + 1 \left( t^3 -\frac{5}{7}t \right) & & \\ & & s & = &  \displaystyle \frac{5}{7}t-\frac{5}{7}t+t^3 & = & t^3 \end{array}</tex>

==== Punto II ====

  - <tex>\begin{array}{lll} H) & P_1 P_2 = \mathbf{0} & \\ & \left. \begin{array}{c} P_1 \in \mathbf{R}^{n \times n} \\ P_2 \in \mathbf{R}^{n \times n} \end{array} \right\} & \mbox{matrices de proyecci\'on (m.p.)} \end{array}</tex>\\ <tex>T) \quad P=(P_1-P_2)^2</tex> es matriz de proyección. \\ <tex>D)</tex> Para que  <tex>P</tex> sea m.p. debe ser:\\ <tex>\begin{array}{c} P = P^T \\ P=P^2 \end{array}</tex>\\ <tex>\begin{array}{ccccc} P & = & {\left( P_1-P_2 \right)}^2 & = & \left(P_1-P_2\right) \left(P_1-P_2\right)\\ & & & = & P_1^2 -P_1P_2 -P_2P_1 +P_2^2 \\ & & & = & P_1^2 -P_2P_1+P_2^2 \end{array}</tex>\\ <tex>\begin{array}{cccc} P_1P_2 & = & 0 \\ {\left( P_1P_2 \right) }^T & = & 0 & \\ P_2^T P_1^T & = &  0 & \\ P_2 P_1 & = & 0 & \mbox{ pues } P_1, P_2 \mbox{ son m.p.}\end{array}</tex>\\ Entonces:\\ <tex>\underbrace{P=P_1-P_2P_1+P_2 \wedge P_2P_1=0}_{\displaystyle P=P_1+P_2}</tex>\\ <tex>P^T=P_1^T+P_2^T=P_1+P_2=P</tex>\\ <tex>P^2={\left( P_1+P_2 \right)}^2=P_1^2 -P_1P_2 -P_2P_1 +P_2^2=P_1+P_2=P</tex>\\ P es entonces matriz de proyección.
  - Debo hallar <tex>x \in \mathbf{R}^3 /</tex>
    - <tex> \left\| Ax-b \right\| \leq \left\| Az-b \right\|</tex> para todo <tex>z \in \mathbf{R}^3</tex>.
    - <tex>x \in \mathrm{Fil}(A)</tex>
  De (I) se deduce que <tex>x</tex> debe ser tal que la distancia de <tex>Ax</tex> a <tex>b</tex> sea //la menor posible//, esto es:\\
<tex>Ax=P_{\mathrm{Col}(A)}b</tex>\\ 
Por otro lado, de (II) tenemos que <tex>x</tex> debe ser CL de las filas de A:
<tex>x=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)+\gamma \left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\\\end{array}\right)</tex>\\ 
pero como <tex>\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\-1\\1\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)</tex>\\ 
<tex>x=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)</tex>\\
\\
<tex>\mathrm{Col}(A) = gen\left\{ \left(\begin{array}{c}1\\1\\0\\\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\\\end{array}\right) \right\} = gen\left\{ \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\\\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{c}2\\1\\1\\\end{array}\right) \right\}</tex>\\
Casualmente, <tex>B=\left\{ \left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\\\end{array}\right) ; \left(\begin{array}{c}2\\1\\1\\\end{array}\right) \right\}</tex> es BOG de <tex>\mathrm{Col}(A)</tex>, considerando el PI canónico, con lo cual, llamando <tex>v_1=\left(\begin{array}{c}0\\1\\-1\end{array}\right)</tex> y <tex>v_2=\left(\begin{array}{c}2\\1\\1\end{array}\right)</tex>:\\
\\
<tex>\begin{array}{ccccccccc} P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \frac{\displaystyle \left\langle v_1 ; b \right\rangle}{\displaystyle \left\langle v_1 ; v_1 \right\rangle}\cdot v_1 & + & \frac{\displaystyle \left\langle v_2 ; b \right\rangle}{\displaystyle \left\langle v_2 ; v_2 \right\rangle}\cdot v_2 & & & &\\
P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \frac{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\ 18\\ 0\\ \end{array} \right) \right\rangle}{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 0\\1 \\ -1\\ \end{array} \right) \right\rangle}\left( \begin{array}{c} 0\\ 1\\ -1\\ \end{array} \right) & + & \frac{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right),
\left( \begin{array}{c} 0\\ 18\\ 0\\ \end{array} \right) \right\rangle}{\displaystyle \left\langle \left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right),\left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right) \right\rangle}\left( \begin{array}{c} 2\\ 1\\ 1\\ \end{array} \right) & & & &\\
P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \frac{18}{2}\left( \begin{array}{c} 0\\1\\-1\\ \end{array} \right) & + & \frac{18}{6} \left( \begin{array}{c} 2\\1\\1\\ \end{array} \right) & & & &\\
P_{\mathrm{Col}(A)}b & = & \left( \begin{array}{c} 0\\9\\-9\\ \end{array} \right) & + & \left( \begin{array}{c} 6\\3\\3\\ \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} 6\\12\\-6 \end{array} \right) & = & Ax \end{array}</tex>\\ 
\\ 
\\ 

<tex>Ax=P_{\mathrm{Col}(A)} b</tex>\\ 
\\ 

<tex>\begin{array}{cccc} \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 6 \\ 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & -1 & 1 & -6 \end{array} \right] & \longrightarrow & \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & -1 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] & \begin{array}{c} x_2=x_3+6 \\ x_1=-2x_3+6 \end{array} \end{array}</tex>\\ 
<tex>x=\left( \begin{array}{c} -2\\1\\1 \end{array} \right) k + \left( \begin{array}{c} 6\\6\\0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2k+6 \\ k+6 \\ k \end{array} \right)</tex>\\ 
\\ 
\\ 
y como también:\\ 

<tex>x=\alpha \left(\begin{array}{c}1\\0\\2\\\end{array}\right)+\beta \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\\\end{array}\right)</tex>\\ 
\\ 
<tex>\begin{array}{rcl} \alpha + \beta & = & -2k+6 \\ \beta & = & k+6 \\ 2\alpha + \beta & = & k \\ \end{array}</tex>\\ 
\\ 
\\ 

<tex>\begin{array}{rcl} 2\alpha + k+6 & = & k \\ 2 \alpha & = & -6 \\ \alpha & = & -3 \end{array}</tex>\\ 
\\ 
Como\\
\\ 
<tex>\begin{array}{rcl} \alpha + \beta & = & -2k+6\\ -3+k+6 & = & -k-k+6 \\ -3 & = & -3k \\ 1 & = & k \\ & & \\ \Longrightarrow \beta & = & k+6 =7  \end{array} </tex>\\ 
\\ 
\\ 
\\ 
<tex>x=\left( \begin{array}{c} -3+7\\7\\-6+7 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4\\7\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2+6\\1+6\\1 \end{array} \right)</tex>



==== Punto III ====

**a)** <tex>\mathcal{S}=\left\{ A \in \mathbf{R}^{2\times 2}:A^T=A \right\}</tex>\\ 
id est, si <tex>A \in \mathcal{S} \Longrightarrow A</tex> es simétrica.
<tex>T(A) = A \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] A, \ T \in \mathcal{L}\left( \mathcal{S}, \mathbf{R}^{2 \times 2} \right)</tex>.\\ 
\\ 
Como <tex>M</tex> también es simétrica, id est,
<tex>M = \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] = M^T</tex>
<tex>MA =M^T A^T = {\left( AM \right)}^T</tex>\\ 
\\ 
Supongamos que\\
<tex>A = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_3 \\ a_3 & a_{22} \end{array} \right]</tex>\\ 
<tex>AM = \left[ \begin{array}{cc} a_{11} & a_3 \\ a_3 & a_{22} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 2a_{11}+2a_3 & 2a_{11}+a_3 \\ 2a_3+2a_{22} & 2a_3+a_{22} \end{array} \right]</tex>\\ 
<tex>{\left( AM \right)}^T = \left[ \begin{array}{cc} 2a_{11}+2a_3 & 2a_3+2a_{22} \\ 2a_{11}+a_3 & 2a_3+a_{22} \end{array} \right]</tex>\\ 
<tex>T(A) = AM + {\left( AM \right)}^T = \left[ \begin{array}{cc} 4a_{11}+4a_3 & 2a_{11}+3a_3+2a_{22} \\ 2a_{11}+3a_3+2a_{22} & 4a_3+2a_{22} \end{array} \right]</tex>\\ 
\\ 
Para <tex>A \in \mathrm{Nu}(T)</tex> es:
<tex>\left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] = T(A) \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{ccl} 0 & = & 4a_{11} + 4a_3 \\ 0 & = & 4a_3+2a_{22} \\ 0 & = & 2a_{11}+3a_3+2a_{22}\end{array} \right.</tex>\\ 
\\ 
<tex>\left[ \begin{array}{ccc|c} 4 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \end{array} \right] \longrightarrow \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right]</tex>\\ 
id est, <tex>T(A) = \mathbf{0} \iff A = \mathbf{0}</tex>
<tex>\Longrightarrow T</tex> es inyectiva\\ 
<tex>\Longrightarrow \dim \left( \mathrm{Nu} \left( T \right) \right) = 0</tex>\\ 
Como <tex>\dim \left( \mathcal{S} \right) = 4-1 = 3</tex> (finita)\\ 
<tex>\dim \left( \mathcal{S} \right) = 3 = \dim \left( \mathrm{Im} \left( T \right) \right) + \dim \left( \mathrm{Nu} \left( T \right) \right)</tex>\\ 
<tex>\dim \left( \mathcal{S} \right) = 3 = \dim \left( \mathrm{Im} \left( T \right) \right)</tex>\\ 
\\ 
y como <tex>\mathrm{Im} \left( T \right) \subset \mathcal{S}</tex>\\ 
<tex>\mathcal{S} = \mathrm{Im} \left( T \right)</tex>\\ 
\\ 
\\ 
**b)** <tex>B</tex> base de <tex>\mathcal{S}</tex>, <tex>B=\left\{ v_1, v_2, v_3 \right\}</tex>\\ 
<tex>C</tex> base de <tex>\mathbf{R}^{2 \times 2}</tex>, <tex>C=\left\{ w_1, w_2, w_3 \right\}</tex>\\ 
\\ 
<tex>{\left[ T \right]}_{BC} = \left[ \mathbf{C}_C \left( T \left( v_1 \right) \right) \quad \mathbf{C}_C \left( T \left( v_2 \right) \right) \quad \mathbf{C}_C \left( T \left( v_3 \right) \right) \right]</tex>\\ 
Como <tex>B</tex> tiene tres elementos y <tex>C</tex> tiene cuatro elementos, <tex>\mathbf{C}_C \left( T \left( v_i \right) \right) \in \mathbf{R}^4</tex>, y entonces <tex>{\left[ T \right]}_{BC} \in \mathbf{R}^{4 \times 3}</tex>\\ 
\\ 
<tex>{\left[ T \right]}_{BC} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right]</tex>, que la última fila de <tex>{\left[ T \right]}_{BC}</tex> sea <tex>\left( 0 \ 0 \ 0 \right)</tex> implica que <tex>T \left( v_1 \right), \, T \left( v_2 \right), \, T \left( v_3 \right)</tex> son LI con <tex>w_4</tex>.\\ 
\\ 
Por otro lado, si <tex>\mathbf{c}_C \left( T \left( v_1 \right) \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\0\\0 \end{array} \right) \Longrightarrow T \left( v_1 \right) = w_1</tex> y así con el resto: <tex>T \left( v_2 \right) = w_2</tex> y <tex>T \left( v_3 \right) = w_3</tex>\\ 
\\ 
Elijo pues la base <tex>B=\left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \right\}</tex>\\ 
\\ 
<tex>\begin{array}{cl} \left. \begin{array}{ccccccc} T \left( v_1 \right) & = & T \left( \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right] \right) & = & \left[ \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right] & = & w_1\\
T \left( v_2 \right) & = & T \left( \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right] \right) & = & \left[ \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right] & = & w_2\\ 
T \left( v_3 \right) & = & T \left( \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \right) & = & \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right] & = & w_3\\ 
\end{array} \right\} & \mbox{son LI, lo cual es coherente pues }B\mbox{ es base y pues }\dim \left( \mathrm{Im}\left(T \right) \right) = 3 \end{array}</tex>\\ 
\\ 
Ahora propongo <tex>w_4 \not\in \mathrm{Im}\left(T \right)</tex>, id est, <tex>w_4</tex> no simétrico: <tex>w_4 = \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right]</tex>\\ 
\\ 
<tex>B=\left\{ \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \right\}</tex>\\ 
<tex>C=\left\{ \left[ \begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 2 & 0 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 4 & 3 \\ 3 & 4 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 0 & 2 \\ 2 & 2 \end{array} \right], \left[ \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{array} \right] \right\}</tex>\\ 

==== Punto IV ====

**a)** <tex>T(v_2+ \alpha v_3)=v_1+\alpha v_2+v_3</tex>\\ 
<tex>T(v_1+v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3</tex>\\ 
<tex>T(v_1+ \alpha v_2+v_3)=\alpha v_1+ 2v_2</tex>\\ 

Si <tex>\alpha = 1</tex>:\\ 
\\ 
<tex>T(v_1+v_2+v_3)=v_1+2v_2+v_3 \neq v_1+2v_2=T(v_1+v_2+v_3)</tex>\\ 
Lo cual es claramente un absurdo pues <tex>T</tex> debe asignar un solo elemento del espacio de llegada a cada elemento del espacio de partida.\\ 
Un absurdo así no podría ocurrir, por otro lado, en el caso de:
  - <tex>T(v_2+ \alpha v_3)</tex> y <tex>T(v_1+ \alpha v_2+v_3)</tex>\\ pues <tex>v_2+ \alpha v_3</tex> es LI con <tex>v_1+ \alpha v_2+v_3</tex> independientemente de <tex>\alpha</tex>.
  - <tex>T(v_2+ \alpha v_3)</tex> y <tex>T(v_1+v_2+v_3)</tex> pues <tex>\left\{ v_2+ \alpha v_3, v_1+v_2+v_3 \right\}</tex> LI <tex>\forall \ \alpha</tex>.\\ 
\\ 
Por otro lado, claramente se ve que, independientemente del <tex>\alpha</tex> considerado, <tex>T</tex> será lineal.
<tex>T</tex> existe, pues, para <tex>\alpha \in \mathbf{R}-\left\{ 1 \right\}</tex>.\\ 
\\ 
Para que <tex>T</tex> sea única es condición necesaria y suficiente que <tex>\left\{ v_2+ \alpha v_3, v_1+v_2+v_3, v_1+ \alpha v_2+v_3 \right\}</tex> sea base de <tex>V</tex>. Para ello los tres elementos (y por ende sus coordenadas en base <tex>B</tex>) deben ser LI.\\ 
\\ 
<tex>\left| \begin{array}{ccc} 0 & 1 & \alpha\\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & \alpha & 1 \end{array} \right| \neq 0</tex>\\ 
<tex>\alpha^2 - \alpha \neq 0</tex>\\ 
<tex>\alpha (\alpha -1) \neq 0</tex>\\ 
\\ 
<tex>T</tex> es única para <tex>\alpha \neq 0 \ \wedge \ \alpha \neq 1</tex>\\ 
\\ 
\\ 
**b)** Para que <tex>\mathrm{Nu}(T)\neq 0</tex> deben ser los generadores de <tex>\mathrm{Im}(T)</tex> LD, id est,\\ 
<tex>\left\{ v_1+\alpha v_2+v_3, v_1+2v_2+v_3, \alpha v_1+ 2v_2 \right\} \mbox{ deben ser LD}</tex>\\ 
Ello ocurre si y sólo si\\ 
<tex>\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\ \alpha\\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 1 \end{array} \right), \left( \begin{array}{c} \alpha\\ 2\\ 0 \end{array} \right) \right\}</tex> (sus coordenadas en base <tex>B</tex>) lo son.\\ 
\\ 
Para encontrar los valores de <tex>\alpha</tex> que satisfacen la susodicha condición, hallo el determinante:\\ 
\\ 
<tex>\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & \alpha\\ \alpha & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right| = \alpha (\alpha -2) = 0 \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \alpha = 0\\ \mbox{\'o}\\ \alpha = 2 \end{array} \right.</tex>\\ 
\\ 
Elijo <tex>\alpha=2</tex> pues así garantizo la existencia y unicidad de <tex>T</tex> y simultáneamente, la condición de que <tex>\mathrm{Nu}(T)\neq 0</tex>.\\ 
\\ 
<tex>B_{\mathrm{Im}(T)} = \left\{ v_1+2v_2+v_3, 2v_1+ 2v_2 \right\}</tex>\\ 
\\ 
Por otro lado:\\ 
<tex>\begin{array}{ccc} v_1+2v_2+v_3 - \left( v_1+2v_2+v_3 \right) & = & \mathbf{0} \\
T \left( v_2+2v_3 \right) - T \left( v_1+v_2+v_3 \right) & = & \mathbf{0} \\
T \left( -v_1+v_3 \right) & = & \mathbf{0} \end{array}</tex>\\ 
\\ 
<tex>B_{\mathrm{Nu}(T)}=\left\{ v_1-v_3 \right\}</tex>\\ 
\\ 

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>