====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 27/10/2007 ======

**Cátedra:** Indistinta\\ 
**Fecha:** 1° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2007\\ 
**Día:** 27/10/2007

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

  - Demuestre que <tex>(p,q)=\int_{-1}^1 p(t)q(t) t^2 \, dt</tex> es un producto interno en <tex>P_n</tex> para todo <tex>n \in \mathbf{N}_0</tex>.
  - Con el PI de (1), hallar el elemento de <tex>S=\left\{ p \in P_3: p=a+bt^2, \quad a,b \in \mathbf{R} \right\}</tex> más cercano a <tex>q=t^2+t^3</tex>.

==== Punto II ====
  - <tex>P_1 \in \mathbf{R}^{n \times n}</tex> es una matriz de proyección, <tex>P_2 \in \mathbf{R}^{nxn}</tex> es una matriz de proyección, <tex>P_1P_2=0</tex>.\\ Demostrar que <tex>P=(P_1-P_2)^2</tex> es una matriz de proyección.
(Sugerencia: calcular primero <tex>P_2P_1</tex>.)
  - Hallar los <tex>x \in \mathbf{R}^3</tex> que cumplan con las siguientes condiciones:
    - <tex> \left\| Ax-b \right\| \leq \left\| Az-b \right\|</tex> para todo <tex>z \in \mathbf{R}^3</tex>.
    - <tex>x \in \mathrm{Fil}(A)</tex>,\\ <tex>A= \left[ \begin{array}{lcr} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 0 \end{array} \right]</tex>.

==== Punto III ====

<tex>S=\left\{ A \in \mathbf{R}^{2\times 2}:A^T=A \right\}, \quad T \in \mathcal{L}\left( S,\mathbf{R}^{2\times 2} \right)</tex> tal que <tex>T(A)=AM+MA,\quad M= \left[ \begin{array}{cc}1 & 2 \\2 & 2\end{array} \right]</tex>.\\ 
  - Demostrar que <tex>T</tex> es inyectiva, y que <tex>\mathrm{Im}(T)=S</tex>.
  - Encontrar bases <tex>B</tex> de <tex>S</tex> y <tex>C</tex> de <tex>\mathbf{R}^{2 \times 2}</tex> tal que <tex>[T]_{BC}</tex> tenga unos en la diagonal principal y ceros en los lugares restantes.

==== Punto IV ====

  - <tex> B=\{v_1,v_2,v_3\}</tex> base de <tex>V</tex>, buscar para cuales <tex>\alpha \in \mathbf{R}</tex> existe <tex>T \in \mathcal{L}(V)</tex> tal que:\\ <tex>T(v_1+ \alpha v_2)=\alpha v_1+v_2+v_3</tex>\\ <tex>T(v_1+v_2+v_3)=2v_1+v_2+v_3</tex>\\ <tex>T(v_1+ \alpha v_2)=2V_1+ \alpha v_3</tex>\\ y encontrar para cuales valores de <tex>\alpha</tex> la TL es única.
  - de entre los valores de <tex>\alpha</tex> hallados en (1) para los cuales la TL es única, encontrar los <tex>\alpha</tex> para los cuales <tex>\mathrm{Nu}(T)\not=0</tex>. Para los valores hallados encontrar bases de <tex>\mathrm{Nu}(T)</tex> e <tex>\mathrm{Im}(T)</tex>.

===== Resolución =====

==== Punto I ====

==== Punto II ====

==== Punto III ====

==== Punto IV ====

===== Discusión =====

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