====== Parcial Algebra II 1ra fecha (12/5/2007) ======



1)
 a) Probar que existe único Pi en P<tex>_{2}</tex> tal que:\\ 
\\
<tex>\parallel t+t^{2}\parallel = \parallel t-t^{2}\parallel = \parallel t+1 \parallel =4 </tex>;\\ 
<tex>(t-t^{2}; t+2)=1</tex>;\\ <tex>gen\{t;t^{2}\}</tex> <tex>\ensuremath{\perp} gen\{1+t\}</tex>\\
\\
 b) Considerado el Pi de (a) hallar elemento <tex>S=\left\{p\in P_{2} :p(1)=p(-1)=0\right\} </tex> más cercano a <tex>f=1</tex>\\
\\
2) a) Sea <tex>P\in R^{3x3}</tex> una matriz de proyección tal que:\\
\\ 
<tex>P(
\begin{array}{ccc}
2 & 4 & 1)^{T}\\ 
\end{array}
=(
\begin{array}{ccc}
3 & 3 & 1)^{T}\\
\end{array}
</tex> y <tex>(
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -6)^{T}\\
\end{array}
\in Nul(P)</tex>\\
\\
Hallar <tex>P</tex> y el subespacio sobre el cual proyecta.\\
\\
b) Sea <tex>A^{T}= 
\begin{bmatrix}
2 & 1 & 1\\
1 & 0 & 2\\
\end{bmatrix}</tex>\\
\\
\\
sabiendo que ||Ax-b||<tex>^{2} \geq 5</tex> para <tex>x \in R^{2}</tex> y que ||Az-b||<tex>^{2}=5</tex> si 
<tex>z=\left[ 1-t\right]^{T} </tex>\\
\\
hallar los posibles valores de <tex>b\in R^{3} </tex>\\
\\
3) a) Hallar los valores de <tex>r\in R</tex> para los cuales existe una única 
<tex>T\in \ell (P_{2},R^{3})</tex>
 que verifica:\\
\\ 
<tex>T(2+rt+t^{2} )=\left( 
\begin{array}{ccc}
(r-1) & 0 & 1
\end{array}
\right)^{T} </tex>\\
\\
<tex>T((1-r)+t+rt^{2} )=\left( 
\begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1
\end{array}
\right) ^{T} </tex>\\
\\
<tex>T(t+t^{2})=\left( 
\begin{array}{ccc}
r & r & 1
\end{array}
\right)^{T} </tex>\\
\\
Hallar bases de <tex>Nu(T)</tex> y de <tex>Im(T)</tex> en los casos en que <tex>T</tex> no es 
inyectiva.\\
\\
b) Entre los valores de <tex>r</tex> hallados en (a) encuentre aquellos 
para los cuales existen bases B de <tex>P_{2}</tex> y C de R<tex>^{3}</tex> tales que:\\ 
\\
<tex>\left[ T\right]_{BC}=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 0 \\
0 &-1 & 0\\
0 & 0 &0 \\
\end{bmatrix}</tex>. (Exhiba tales bases)
\\
\\
4) Sea <tex>T\in \ell (P_{2} )</tex> definida por: <tex>T(p)=(1+t)\left[ (2p(t)-tp^{'}(t)+p^{''}(t)\right] </tex>\\
\\
a) Hallar los posibles valores de <tex>r\in R</tex> para los cuales <tex>(rI-T)</tex> no es inversible.\\
\\
b) Definir <tex>S\in \ell (R^{2} ,P_{2} )</tex> y 
<tex>R\in \ell (P_{2} ,R^{2} )</tex> tales que <tex>R\circ T\circ S(v)=v</tex> para todo <tex>v\in R^{2}</tex>





__RESOLUCION:__



__Ejercicio 2:__


<tex>S=\{p \ \epsilon P_2 : p(1)=p(-1)=0\}</tex>\\
<tex>\Rightarrow S\subset P_2 \ \ dim(S)=1</tex>\\
<tex>p \ \epsilon \ \mathcal{P_2} \ \Rightarrow</tex>\\
<tex>\Rightarrow p(t)=a+bt+ct^2</tex>\\
<tex>\Rightarrow p(1)=a+b+c=0 \ \Rightarrow a=-b-c</tex>\\
<tex>\Rightarrow p(-1)=a-bt+c=0 \ \Rightarrow -b-\not{c}-b+\not{c}=0</tex>\\
<tex>\Rightarrow b=0</tex>\\
\\
<tex>p(t)=-c+ct^2</tex>\\
<tex>\Rightarrow S=gen\{-1+t^2\}</tex>\\
\\
El elemento más cercano a <tex>f=1</tex> es <tex>P_S(1):</tex>\\

<tex>P_{S(1)}=\frac{(w,1)}{||w||^2}\cdot w=\frac{(-1+t^2,1)}{||-1+t^2||}\cdot (-1+t^2)</tex>  
\\
\\
<tex>\Rightarrow</tex> Con el PI definido:
<tex>C_B(w)^t\cdot G_B \cdot C_B(1)=(-1,0,1)\cdot G_B \cdot \left(\begin{array}{l}1\\0\\0\\ \end{array}\right)=\frac{-49}{2}</tex>

<tex>C_B(w)^t\cdot G_B \cdot C_B(1)=(-1,0,1)\cdot G_B \cdot \left(\begin{array}{l}1\\0\\-1\\ \end{array}\right)=32</tex>

Finalmente: <tex>{P_{S(1)}=\frac{-49}{64}(-1+t^2)}</tex>