===== Examen (Parcial) - 61.08. Álgebra - 13/12/2006 ====== **Catedra:** Todas \\ **Fecha:** 2º Oportunidad - 2º Cuatrimestre 2006\\ **Día:** 13/12/2006 \\ **Tema:** 2 \\ Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== 1 (a) Probar que (x,y) = (x_1 + x_2 - 2x_3)(y_1 + y_2 - 2y_3) + \, \alpha(x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3) es producto interno en R^3 si y sólo si \alpha \textgreater \,0 (b) Considerando el p.i. definido en (a) con \alpha = 1 hallar todos los x \, \in \, R^3 cuya distancia al subespacio S = \{ x \, \in \, R^3 : x_1 + x_2 - 2x_3 = 0 \} sea 1. 2 (a) Hallar P \, \in \, R^{3x3}, sabiendo que P es de proyección y que (I - P) \left[ \begin{array}{rr} 6 & 6 \\ -6 & 6 \\ 0 &6 \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{cc} 3 & 13 \\ 0 & 4 \\ 3 & 5\\ \end{array} \right] (b) Sean A \, \in R^{nxm} y b \, \in \, R^n. Decidir, justificando la respuesta, si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (i) Si el rango(A) < \, m , entonces la ecuación Ax = b tiene infinitas soluciones por cuadrados mínimos. (ii) Si \hat{x} es una solución por cuadrados mínimos de la ecuación Ax = b y \parallel b \parallel = 1 /, entonces \parallel A \hat{x} \parallel \, \leq 1 3) Sea T \in \L \, (R^3,P_2) tal que, para ciertos \alpha , \beta \in R,\; T([1 \; 1 \; 0]^t) = \beta + (\alpha - 2)t^2, \; T([0 \; 1 \; 1]^t) = \beta t + \alpha t^2, \; T([0 \; 0 \; 1]^t) = 2 \beta + \alpha t^2. (a) Determinar para qué valores de \alpha y \beta, \, T no es inyectiva. Para los valores de \alpha y \beta hallados que cumplan la condición \beta \neq 0 , hallar bases del núcleo y de la imagen de T. (b) Considerando \alpha = 2 y \beta = 1 , justificar la existencia de T^{-1} y calcular T^{-1}(3 + 4t + t^2) . 4) Considere la ecuación diferencial: y \prime \prime \, + \, ay \prime \, + \, by = e^t \, ,\; a,b \in R. (a) Sabiendo que y = e^t - e^{-t} es solución de la ecuación homogénea asociada, hallar a y b y exhibir una base de soluciones de tal ecuación. (b) Considerando los valores de a y b obtenidos en (a), encuentre todas las soluciones de la ecuación no homogénea que verifican y(0) = 1 y lim_{t \rightarrow - \infty} \, y(t) = 0 El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas. ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.