====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A ======

**Cátedra:** Todas\\
**Fecha:** 1era Oportunidad - 2do Cuatrimestre 2006\\
**Día:** 21/10/2006

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===== Enunciado =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

  -
    - En un espacio vectorial <tex>V</tex> con base <tex>B=\{v_1;v_2;v_3\}</tex> se ha definido un producto interno <tex>(\cdot,\cdot)</tex> tal que para cierto subespacio <tex>S</tex> se tiene que: <tex>v_1+v_2+v_3</tex> es el elemento de <tex>S</tex> más cercano a <tex>2v_1-v_2+4v_3</tex> y que <tex>-v_1+2v_2-3v_3</tex> es la proyección ortogonal de <tex>-2v_1+3v_2-2v_3</tex> sobre <tex>S^\perp</tex>. Hallar bases de <tex>S</tex> y <tex>S^\perp</tex>.
    - Sea <tex>V</tex> un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno <tex>(\cdot,\cdot)</tex> y sean <tex>S_1</tex> y <tex>S_2</tex> subespacios de <tex>V</tex> tales que <tex>S_1 \perp S_2</tex>. Probar que <tex>\mathcal{P}_Sv = \mathcal{P}_{S_1}v + \mathcal{P}_{S_2}v</tex> para todo <tex>v \in V</tex>, siendo <tex>S=S_1+S_2</tex>.

<!-- ==== Punto II ==== ... -->
  -
    - Siendo <tex>A \in \mathrm{R}^{3 \times 3}</tex> una matriz de proyección de rango 1 tal que <tex>A[1\ 1\ -1]^T=[1\ 1\ 0]^T</tex>, resolver por cuadrados mínimos <tex>Ax=b</tex> con <tex>b=[1\ 1\ -1]^T</tex>.
    - Sea <tex>S</tex> un subespacio de <tex>\mathrm{R}^3</tex> de dimensión 2 y sea <tex>A \in \mathrm{R}^{3 \times 3}</tex> no inversible tal que <tex>\ker(A) \subset S^\perp</tex>. Determinar el rango de <tex>A</tex> y probar que si <tex>P</tex> es la matriz de proyección sobre <tex>S</tex> entonces <tex>AP=A</tex>.


===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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