====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 13 de Mayo de 2006 ======

**Cátedra:** Incógnita\\ 
**Fecha:** Oportunidad X - 1° Cuatrimestre 2006\\ 
**Tema:** 2\\ 
**Día:** Sábado 13/05/2006

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===== Enunciado =====

==== Punto I ==== 

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      - Sea <tex>V=\left\{ f\colon \mathbf{R}\longrightarrow \mathbf{R}: f(x)=(a+bx)e^{-x} \right\}</tex>. Pruebe que <tex>\mathrm{dim}(V)=2</tex> y que <tex>(f,g)=f(0)g(0)+f(1)g(1)e^2</tex> es producto interno en <tex>V</tex>.
      - Dados <tex>\mathcal{S}=\left\{ f\in V: f(0)=0\right\}</tex> y <tex>W=gen\left\{e^{-x}\right\}</tex>, hallar todos los <tex>g\in W</tex> tales que <tex>\mathrm{d}(g,\mathcal{S})\leq 1</tex>.

==== Punto II ==== 

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      - Sabiendo que <tex>P=\frac{1}{6} \left( \begin{array}{cccc} 2 & 2 & -2 & 0\\ 2 & 5 & 1 & 0\\ -2 & 1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right)</tex> es la matriz de proyección sobre cierto subespacio <tex>\mathcal{S}</tex> de <tex>\mathbf{R}^4</tex>, hallar las matrices de proyección sobre los subespacios <tex>W=\mathcal{S}+gen\left\{ \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array} \right) \right\}</tex> y <tex>W^\perp</tex>.
      - Determinar si la siguiente afirmación es verdadera o falsa:\\ Si <tex>A\in \mathbf{R}^{n\times m}</tex>, <tex>b \in \mathbf{R}^n</tex> y <tex>C \in \mathbf{R}^{n\times n}</tex> es inversible, entonces <tex>\hat{x} \in \mathbf{R}^n</tex> es solución por cuadrados mínimos de <tex>Ax=b</tex> si y sólo si <tex>\hat{x}</tex> es solución por cuadrados mínimos de <tex>CAx=Cb</tex>.

==== Punto III ==== 

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    - Sea <tex>\mathcal{S}=\left\{ A\in \mathbf{R}^{2\times2} : A^T=A \right\}</tex>. Para <tex>B\in\mathcal{S}</tex>, definimos <tex>T\in\mathcal{L}\left(\mathcal{P}_2,\mathcal{S}\right)</tex> mediante <tex>T\left(a_0+a_1t+a_2t^2\right)=a_0I+a_1B+a_2B^2</tex>.
      - Probar que <tex>T</tex> no es biyectiva.
      - Considerando <tex>B=\left(\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 1 & 0\end{array} \right)</tex> y el PI <tex>\left\langle x,y \right\rangle=x_{11}y_{11}+x_{12}y_{12}+x_{22}y_{22}</tex>, hallar todos los <tex>p\in \mathcal{P}_2</tex> tales que <tex> T(p)-A\in{\mathrm{Im}(T)}^\perp</tex>, con <tex>A=\left( \begin{array}{cc} 2 & -2\\ -2 & 1\end{array} \right)</tex>.

==== Punto IV ==== 

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    - Considere la ecuación diferencial <tex>x^ny+(1+x)y=f(x), \quad x>0, \quad n\in \mathbf{N}</tex>.
      - Hallar la solución general de la ecuación homogénea asociada.
      - Considerando <tex>n=1</tex> y <tex>f(x)=e^x</tex>, hallar todas las soluciones que tengan límite finito cuando <tex>x\rightarrow 0^+</tex>.\\ 

**El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.**

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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