====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II ======
**Cátedra:** Todas\\
**Fecha:** 2º Oportunidad - (2º Cuatrimestre 2006)\\
==== Punto I ====
**(a)**Definir un producto interno en P_1 que verifique:
(1+2t,1)=3, (gen \{4-t\})^\perp = gen \{1-3t \} y \|2+t\|= \sqrt {11}.
**(b)** Sea T \in \mathcal{L} (P_1), definida por T(p)= P_Sp+2P_{S^ \perp}p, donde S=gen \{-1+3t\} y el producto interno que se considera es el definido en **(a)**. Hallar todos los p \in P_1 que satisfacen la condición: \|T(p)\|=\|p\|.
==== Punto II ====
**(a)** Sean A \in R^{mx4} y B \in R^{3xm} tales que rg(A)=2 y BA= \left[ \begin{array}{cccc}
1 & 1 & 0 & 1\\
2 & 0 & 1 & 2\\
1 & 1 & 0 & 1\\
\end{array} \right]. Hallar las matrices de proyección sobre el Nul(A) y Fil(A).
**(b)** Sea T: R^3 \to R^2 definida de la siguiente manera: T(u)= \breve x con \breve x la única solución por cuadrados mínimos de la ecuación Ax=u, donde A^T= \left[ \begin{array}{ccc}
1 & 1 & -1\\
1 & 1 & 1 \\
\end{array} \right]. Probar que T es una transformación lineal y hallar la representación matricial de T en las bases canónicas.
==== Punto III ====
Sea f \in \mathcal{L} (P_2,P_3) tal que [f]_{BB'}= \left[ \begin{array}{ccc}
\alpha & 1 & \alpha +1\\
\alpha & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
2 \alpha & 2 \alpha & \alpha \\
\end{array} \right] con B= \{1;t;t^2\} y B'= \{1;t;t^2;t^3\}.
**(a)** Hallar los valores de \alpha \in R para los que existen p,q \in P_2 con p \not= q y f(p)=f(q)=(\alpha -1)t^2 + (2 \alpha -2)t^3.
**(b)** Para \alpha =1, hallar un subespacio S de P_2 tal que la suma de S con Nu(f) sea directa y f(s)=Im(f).
==== Punto IV ====
Sea V= \{f:R \to R : f \in C^2(R),\lim_{t \to + \infty} f(t)=0\} y sea L:V \to C(R) definida por L(f)= f''+f.
**(a)** Probar que L es una transformación lineal y hallar una base de Nu(L).
**(b)** Determinar si existe f \in V tal que L(f)=1.