====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 14 de Diciembre de 2005 ====== **Cátedra:** Indistinta\\ **Fecha:** 3° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2005\\ **Día:** 14/12/2005\\ **Tema:** 1. Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== === a) === Sea B= \left\{ v_1; v_2 \right\} base de un \mathbf{R}-espacio vectorial V. Definir un producto interno en V que verifique simultáneamente:\\ i) \left( v_1 + v_2, v_1 - v_2 \right) = 0\\ ii) {\left( gen \left\{ v_1 - 2v_2 \right\} \right)}^\perp = gen \left\{ v_1 \right\}\\ iii) \left\| v_1 \right\| = \sqrt{2}. === b) === Sea T \in \mathcal{L} (V), definida por T(v) = \mathcal{P_S}v-\mathcal{P}_{\mathcal{S}^\perp}v, donde \mathcal{S} = gen \left\{ v_1 + v_2 \right\} y el producto interno que se considera es el hallado en (a). Probar que para todo v\in V,\ \left\| T (v) \right\| = \left\| v \right\| y hallar [T]_B. ==== Punto II ==== === a) === Sean A \in \mathbf{R}^{n \times m} y B \in \mathbf{R}^{n \times k} tales que A^TB=\mathbf{0}. Probar que \mathrm{Rango}(A)+\mathrm{Rango}(B) \leq n. === b) === Sean A \in \mathbf{R}^{m \times 4} y B \in \mathbf{R}^{3 \times m} tales que \mathrm{Rango}(A)=2 y BA= \left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{array} \right]. Hallar la matriz de proyección sobre \mathrm{Nul}(A). ==== Punto III ==== Sea f \in \mathcal{L} \left( \mathcal{P}_2, \mathbf{R}^{2\times2} \right) tal que [f]_{BB'} = \left[ \begin{array}{rrr} \alpha & 1 & \alpha +1\\ \alpha & 1 & 0\\ 2\alpha & 2\alpha & \alpha \end{array} \right], con B= \left\{ 1; t; t^2 \right\} y B' = \left\{ E_{11}: E_{12}; E_{21}; E_{22} \right\} con E_{ij} la matriz cuayas componentes son nulas salvo la de la posición ij que es 1. === a) === Hallar los valores de \alpha para los que existen p,q \in \mathcal{P}_2 con p\neq q y f(p) = f(q) = \left[ \begin{array}{cc} 0 & 0\\ \alpha -1 & 2\alpha-2 \end{array} \right]. === b) === Para \alpha=1, hallar un subespacio \mathcal{S} de \mathcal{P}_2 tal que la suma de \mathcal{S} con \mathrm{Nu}(f) sea directa y f(\mathcal{S})=\mathrm{Im}(f). ==== Punto IV ==== === a) === Sea V = \left\{ f\colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}\colon f(t)=p(t)e^{-t^2},\ \mbox{ $p$ un polinomio} \right\} y, para f \in V, sea L (f)= f'+2tf. Probar que L \in \mathcal{L} (V) y que es sobreyectiva. Hallar \mathrm{Nu}(L). === b) === Hallar todas las soluciones de y''-y=4e^{-t} que verifiquen y(0)=1 y \lim_{t\rightarrow +\infty} y(t) = 0. **El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.** ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.