====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 19 de Noviembre de 2005 ====== **Cátedra:** Indistinta\\ **Fecha:** 3° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2005\\ **Día:** 19/11/2005.\\ **Tema:** 2. Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material. ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Sea V un \mathbf{R}-espacio vectorial de dimensión 2 con producto interno (\cdot\, ;\cdot). Sean v_1 y v_2 en V tales que \left\| v_1 \right\| = \left\| v_2 \right\| = \sqrt{2} y \left ( v_1; v_2 \right) = -1 y sea \mathcal{S} = gen\left\{ v_1-v_2\right\}. === a) === Probar que \left\{ v_1, v_2\right\} es base de V y hallar \mathcal{S}^\perp. === b) === Hallar todos los v \in V cuya distancia a \mathcal{S} es \sqrt{2}. ==== Punto II ==== === a) === Sea A \in \mathbf{R}^{n\times m}. Probar que si P_1 y P_2 son, respectivamente, las matrices de proyección a \mathrm{Col}(A) y a {\mathrm{Nul}(A)}^\perp, entonces A=P_1A=AP_2. === b) === Considere el sistema Ax=b, con A \in \mathbf{R}^{n \times n} y b \in \mathrm{Col}(A). Probar que existe un único x_0 \in {\mathrm{Nul}(A)}^\perp tal que Ax_0 =b. ==== Punto III ==== Sea B= \left\{ v_1; v_2; v_3 \right\} una base de V. === a) === Determinar todos los valores de \beta para los que existe una única T \in \mathcal{L} \left( V, \mathcal{P}_2 \right) que verifique T \left( v_1+v_2+2v_3 \right)=1-t-\beta t^2,\ T\left( \beta v_1+ v_2+2v_3 \right) = -\beta + t +2t^2 y T \left( 2v_1 +v_2 + \beta v_3 \right)= 3-t+4t^2. Para esos valores de \beta hallar bases de \mathrm{Nu}(T) e \mathrm{Im}(T). === b) === Hallar entre los valores de \beta encontrados en (a), aquellos para los cuales la ecuación T(v)=1+2t^2 admite más de una solución. ==== Punto IV ==== === a) === Sea T \in \left( \mathcal{P}_n \right),\ n \in \mathbf{N}_0, definida por T(f)=f'+\alpha f\ (\alpha \in \mathbf{C}). Probar que T es biyectiva si y sólo si \alpha \neq 0 . Para n=1 y \alpha =1, hallar la representación matricial de T^{-1} en la base {t;1}. === b) === Hallar la solución general de la ecuación y''+a_1y'+a_0y= \sen t sabiendo que a_i \in \mathbf{R},\ i=0,1 y que y=e^t \sen (2t) es solución general de la ecuación homogénea asociada.\\ **El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.** ===== Resolución ===== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.