====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 29 de Octubre de 2005 ======

**Cátedra:** Indistinta\\ 
**Fecha:** 1° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2005\\ 
**Día:** 29/10/2005\\ 
**Tema:** 2.

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

=== a) ===

Demostrar que <tex>\left( a_0+a_1t+a_2t^2,b_0+b_1t+b_2t^2 \right) = 2a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0 +a_1b_1 + a_2b_2</tex> es producto interno en <tex>\mathcal{P}_2</tex>.

=== b) ===

Sean <tex>\mathcal{S} = \left\{ p \in \mathcal{P}_1 : p(1)=0 \land p(-1)=0 \right\}</tex> y <tex>\mathcal{W} = gen \left\{ 1, t, t^2 \right\}</tex>. Hallar todos los <tex>q \in \mathcal{W}</tex> tales que <tex> \mathrm{d} \left( d, \mathcal{S} \right) = \left\| q \right\|</tex>, considerando el PI definido en (a).

==== Punto II ====

=== a) ===

Sean <tex>A \in \mathbf{R}^{n\times n}</tex> una matriz de proyección y <tex>b \in \mathbf{R}^n</tex>. Probar que si <tex>\hat{x} \in \mathbf{R}^n</tex> es solución por cuadrados mínimos de <tex>Ax=b</tex> entonces <tex>b-\hat{x} \perp \mathrm{Col}(A)</tex>.

=== b) ===

Sea <tex>B= \left\{ v_1 ; v_2; v_3 \right\}</tex> base de un espacio vectorial <tex>V</tex> y sea <tex>T \in \mathcal{L} \left( V, \mathbf{R}^3 \right)</tex> definida por <tex>T\left( v_1+v_2+v_3 \right) = \left( \begin{array}{c} 1\\1\\1\\ \end{array} \right)</tex>, <tex>T(v_1 -v_2+v_3) = \left( \begin{array}{c} 1\\1\\-1\\ \end{array} \right)</tex>, <tex>T(v_1-v_3)=\left( \begin{array}{c} 5\\5\\1\\ \end{array} \right)</tex>. Justificar la existencia y unicidad de <tex>T</tex> hallar todos los <tex>v \in V</tex> que minimizan <tex>\left\| w-T(v) \right\|</tex> con <tex>w=\left( \begin{array}{c} 1\\-1\\0 \end{array} \right)</tex>. (Considere el PI canónico en <tex>\mathbf{R}^3</tex>).

==== Punto III ====

Sea <tex> T \in \mathcal{L} \left( \mathbf{R}^{2\times2} \right)</tex> definida por <tex>T \left( X \right) = XN-MX</tex> con <tex>N= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right]</tex> y <tex>M = \left[ \begin{array}{rr} \alpha & -1\\ -1 & \alpha \end{array} \right]</tex>.

=== a) ===

Hallar todos los valores de <tex>\alpha</tex> para los cuales <tex>T</tex> es biyectiva.

=== b) ===

Considerando <tex>\alpha=-1</tex>, defina transformaciones lineales <tex>S \in \mathcal{L} \left( \mathbf{R}^3, \mathbf{R}^{2\times2} \right)</tex> y <tex>R \in \mathcal{L} \left( \mathbf{R}^{2\times2}, \mathbf{R}^3 \right)</tex> tales que <tex>R \circ T \circ S = I</tex> donde <tex>I</tex> es la transformación identidad en <tex>\mathbf{R}^3</tex>

==== Punto IV ====

=== a) ===

Resolver el problema a valor inicial <tex>ty'-y=\frac{1}{t}, \quad y(-1)=1</tex>.

=== b) ===

Hallar la solución general de la ecuación <tex>y''-y'-2y=1+e^x</tex>\\ 

**El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos. Justificar todas las respuestas.**

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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