====== Parcial - 61.08. Álgebra II A ======

**Cátedra:** Todas\\
**Fecha:** 2da Oportunidad - 1er Cuatrimestre 2005\\
**Día:** 04/06/2005\\
**Tema:**1



===== Enunciado =====



  -   
    - Demostrar que <tex>(f, g) =f(0) g(0) + \int_{0}^{1} f(t)g(t)t \, dt</tex> es producto interno en <tex>\mathcal{P}_1</tex>.
    - Hallar, considerando el p.i. definido en (I), todos los <tex>p \in \mathcal{P}_1</tex> cuya distancia a <tex>\mathcal{S} = \mbox{gen} \, \{ t \} \mbox{ es } \, 1</tex>.
  -   
    - Sea <tex>  A =  \left[ \begin{array}{lll} 
1 & 0 & \ \ 1 \\
 & \\
1 & 0 & -1\\
 & \\
1 & 1 &  \ \ 0 \\
\end{array} \right] </tex> Hallar matrices cuadradas <tex>L</tex> y <tex>S</tex>, <tex>L</tex> triangular inferior y <tex>B</tex> de filas ortonormales, tales que <tex>A = LB</tex>. (Sugerencia: considere <tex>A^T</tex>.) 
    - Sea <tex>P \in \mathbf{R}^{n\times n}</tex> matriz de proyección y sea <tex>v \in  \mathbf{R}^n</tex> no nulo tal que <tex>Pv = 0</tex>. Probar que <tex>rango(P + vv^T) = rango(P) + 1</tex>.
  -   
    - Sea <tex>\mathcal{S} = {X \in  \mathbf{R}^{2x2}: X^T = X}</tex> y sea <tex>T \in \mathcal{(S)}</tex>, definida por <tex>T(X) = XM + MX</tex> con <tex>M = (m_{ij}) \in \mathbf{R}^{2x2}, m_{11} = 1, m_{12} = m_{21} = r</tex> y <tex>m_{22} = 4</tex>. Hallar todos los valores de <tex>r</tex> para los cuales <tex>T</tex> resulta biyectiva.
    - Determinar los valores de <tex>r</tex> positivos para los cuales existen bases <tex>B</tex> y e de <tex>\mathcal{S}</tex> tales que <tex> [T]_{BC} =  \left[ \begin{array}{lll} 
1 & 1 & 0 \\
 & \\
0 & 1 & 0\\
 & \\
0 & 0 & 0 \\
\end{array} \right] </tex>Hallar tales bases.
  - Sea <tex>f : \mathbf{R}^3 \rightarrow \mathbf{R}^2</tex> tal que para <tex>y \in \mathbf{R}^3 , f(y) = \hat{x}</tex> siendo <tex>\hat{x}</tex> la solución por cuadrados mínimos de la ecuación
<tex>Ax = y \mbox{ con }  A^T =   \left[ \begin{array}{lll} 
1 & 1 & -1 \\
 & \\
1 & 0 & \ \ 1  \\
\end{array} \right] </tex>
    - Pruebe que <tex>f</tex> es lineal y halle la representación matricial de <tex>f</tex> en las bases canónicas.
    - Hallar núcleo e imagen de <tex>f</tex>·


===== Resolución =====



==== Punto 1 ====

**(I)**

Para que <tex>(f, g) =f(0) g(0) + \int_{0}^{1} f(t)g(t)t \, dt</tex> sea producto interno en <tex>\mathcal{P}_1</tex> se deben cumplir las cuatro propiedades de p.i. Para ello se plantea lo siguiente:

Sea
  *<tex>f(t) = a_0 + a_1t</tex>
  *<tex>g(t) = b_0 + b_1t</tex>
  *<tex>h(t) = c_0 + c_1t</tex>

 //1//. <tex>(f,g) = (g,f)</tex>

<tex>\Rightarrow (f, g) =f(0) g(0) + \int_{0}^{1} f(t)g(t)t \, dt =</tex>

<tex> =  a_0b_0 + \int_{0}^{1} (a_0 + a_1t)(b_0 + b_1t) \, dt = b_0a_0 + \int_{0}^{1} (b_0 + b_1t)(a_0 + a_1t) \, dt = (g,f)</tex>

//2//. <tex>(f+g,h) = (f,h) + (g,h)</tex>

<tex>\Rightarrow (f+g)(0)h(0) + \int_{0}^{1} (f+g)(t)h(t)t \, dt = [f(0)+g(0)]h(0) + \int_{0}^{1} [f(t)+g(t)]h(t)t \, dt =</tex>

<tex> = f(0)h(0)+g(0)h(0) + \int_{0}^{1} f(t)h(t)t \, dt +\int_{0}^{1} +g(t)h(t)t \, dt =</tex>

<tex> = \underbrace{f(0)h(0) + \int_{0}^{1} f(t)h(t)t \, dt}_{(f,h)} +\underbrace{g(0)h(0) + \int_{0}^{1} g(t)h(t)t \, dt}_{(g,h)} = </tex>

<tex> = (f,h) + (g,h)</tex>

//3//.<tex>(f,\alpha g) = \alpha (f,g)</tex>

<tex>\Rightarrow (f,\alpha g) = f(0) (\alpha g)(0) + \int_{0}^{1} f(t)(\alpha g)(t)t \, dt =</tex>

<tex> = f(0) \alpha g(0) + \int_{0}^{1} f(t)\alpha g(t)t \, dt =\alpha [f(0) + g(0) + \int_{0}^{1} f(t)g(t)t \, dt] = \alpha (f,g)</tex>

//4//. <tex>(f,f)\geq 0</tex>, <tex>(f,f) = 0 \Leftrightarrow f(t) = 0</tex>

<tex>\Rightarrow (f,f) =  f(0) f(0) + \int_{0}^{1} f(t)f(t)t \, dt = a_0^2 +  \int_{0}^{1} (a_0+a_1t)^2t \, dt = </tex>

<tex> = a_0^2 + \int_{0}^{1} a_1^2t^3 + 2a_0a_1t^2 + a_0t^2 \, dt = \frac{a_0^2}{4} + \frac{2}{3}a_0a_1 + \frac{3}{2}a_0</tex>

Se cuentan cuadrados:

<tex>\Rightarrow (f,f) = \underbrace{(\frac{a_1}{2}+\frac{2}{3}a_0)^2}_{\geq 0} + \underbrace{\frac{19}{18}a_0^2}_{\geq 0}</tex>

Para que <tex>(f,f) = (\frac{a_1}{2}+\frac{2}{3}a_0)^2 + \frac{19}{18}a_0^2 = 0 </tex> se tiene que cumplir que <tex>(\frac{a_1}{2}+\frac{2}{3}a_0)^2 = 0</tex> y que <tex>\frac{19}{18}a_0^2 = 0</tex>. De la segunda ecuación se ve a simple vista que <tex>a_0 = 0</tex>, entonces reemplazando en la primera se obtiene que <tex>a_1 = 0</tex>. En conclusión <tex>f(t) = 0 </tex>

**(II)**

Se escribe a <tex>p</tex> como <tex>p = a_0+a_1t</tex>

Lo que pide el enunciado es hallar todos los <tex>p</tex> tales que: 
<tex> dist(p,\mathcal{S}) = ||P_{\mathcal{S}^\perp}(p)|| = ||p - P_\mathcal{S}(p)|| = 1</tex>

Entonces primero se determina <tex>P_\mathcal{S}(p)</tex>:

<tex> \Rightarrow P_\mathcal{S}(p) = \frac{\langle (a_0+a_1t),(t)\rangle}{||t^2||}t</tex>

<tex> \Rightarrow (a_0+a_1t,t) = \int_{0}^{1} \left( a_0t^2+a_1t^3 \right) \, dt = \frac{a_1}{4} + \frac{a_0}{3} = \frac{3a_1 + 4a_0}{12}</tex>


<tex>  (t,t) = \int_{0}^{1} t^3 \, dt = \frac{1}{4}</tex>

<tex>  P_\mathcal{S}(p) = \frac{\frac{3a_1 + 4a_0}{12}}{\frac{1}{4}}t = \frac{4a_0t}{3} + a_1t</tex>

<tex> dist(p,\mathcal{S}) = \left\| a_0 - \frac{4}{3}a_0t \right\| = 1</tex>

<tex> \Rightarrow \sqrt{\left(a_0 - \frac{4}{3}a_0t,a_0 - \frac{4}{3}a_0t \right)} = 1 </tex>

<tex>  \left(a_0 - \frac{4}{3}a_0t,a_0 - \frac{4}{3}a_0t \right) = a_0^2 + \int_{0}^{1} \left( \frac{16}{9}a_0^2t^3 - \frac{8}{3}a_0^2t^2 + a_0^2t \right) \, dt = \frac{19}{18}a_0^2  =  1</tex>

Por lo tanto:
<tex> a_0 = \pm \sqrt{\frac{18}{19}} </tex> y <tex>a_1</tex> puede tomar cuaquier valor.

<tex>P_1(t) = \sqrt{\frac{18}{19}} + \alpha t \qquad P_2(t) = -\sqrt{\frac{18}{19}} + \alpha t</tex>

==== Punto 2 ====

**(I)**

Considerando <tex>A^T</tex> y sabiendo que <tex>A = LS</tex> se define <tex>A^T = (LS)^T = S^TL^T</tex>. <tex>S^T</tex> tiene columnas ortonormales y <tex>L^T</tex> es triangular superior, por lo tanto se plantea una descomposición <tex>QR</tex> de <tex>A^T</tex>, obteniendo de esta manera <tex>Q = S^T</tex> y <tex>R = L^T</tex>.

Se busca una base ortonormal de <tex>col(A^T)</tex> (Gram-Shmidt).

<tex>col(A^T) = \mbox{gen } \left\{ \left( \begin{array}{l} 1 \\ \\ 0  \\  \\1  \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{l} \ \  1 \\ \\ \ \ 0  \\  \\  -1  \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ \\ 1  \\  \\0  \\ \end{array}\right) \right\}</tex>

<tex>g_1 = (1 \ 0 \ 1)</tex>

<tex>g_2 = (1 \ 0 \ -1) - \underbrace{\frac{\langle(1 \ 0 \ 1 ),(1 \ 0 \ -1 ) \rangle}{||1 \ 0 \ 1 ||^2}}_{ = \ 0}(1 \ 0 \ 1) = (1 \ 0 \ -1)</tex>

<tex>g_3 = (1 \ 1 \ 0) - \underbrace{\frac{\langle(1 \ 0 \ 1 ),(1 \ 1 \ 0 ) \rangle}{||1 \ 0 \ 1 ||^2}}_{ =\  \frac{1}{2}}(1 \ 0 \ 1) - \underbrace{\frac{\langle(1 \ 1 \ 0 ),(1 \ 0 \ -1 )\rangle}{||1 \ 0 \ -1 ||^2}}_{ = \ \frac{1}{2}}(1 \ 0 \ -1)</tex>

<tex>\Rightarrow g_3 = (1 \ 1 \ 0) - \left( \frac{1}{2} \ 0 \ \frac{1}{2}\right)  - \left( \frac{1}{2} \ 0 \ \frac{-1}{2}\right) = (0  \ 1 \ 0) </tex>


<tex> B = \mbox{gen } \left\{ \left( \begin{array}{l} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ 0  \\  \\\frac{1}{\sqrt{2}}  \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{l}  \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \ \ 0  \\  \\ \frac{-1}{\sqrt{2}} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 1 \\ \\ 1  \\  \\0  \\ \end{array}\right) \right\} \ \  \mbox{Base ortonormal de } col(A^T) </tex>

Como  <tex>\mbox{gen }\{  col(A^T) \}= \mbox{gen }\{  col(Q)\} </tex>

<tex>Q = \left[ \begin{array}{lll} 
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\
 & \\
0 & 0 & 1\\
 & \\
\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{-1}{\sqrt{2}} &  0  \\
\end{array} \right] \qquad R = \left[ \begin{array}{lll} 
\sqrt{2} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\
 & \\
0 & \sqrt{2} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\
 & \\
0 & 0 &  1  \\
\end{array} \right] </tex>

<tex>\Rightarrow A= LS = R^TQ^T = \left[ \begin{array}{lll} 
1 & 0 & \ \ 1 \\
 & \\
1 & 0 & -1\\
 & \\
1 & 1 &  \ \ 0 \\
\end{array} \right] </tex>


**(II)**
FIXME

==== Punto 3 ====

**(I)**


Para que <tex>X^T = X</tex> se debe cumplir que <tex>X_{12} = X_{21}</tex>

<tex>S = \mbox{gen } \left\{ 
\left( \begin{array}{ll} 
1 & 0\\ 
\\
0 & 0\\
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{ll} 
0 & 1\\
\\ 
1 & 0\\ 
\end{array} \right)
\left( \begin{array}{ll} 
0 & 0\\
\\ 
0 & 1\\
\end{array}\right) \right\}</tex>

Se toman estos tres elementos para formar una base(<tex>B^\prime</tex>) de <tex>S</tex>

<tex>M = \left( \begin{array}{ll} 
1 & r\\ 
\\
r & 4\\
\end{array} \right) </tex>

<tex>T_{ \tiny{\left( \begin{array}{ll} 
1 & 0\\ 
0 & 0\\
\end{array} \right)}} = 
\left( \begin{array}{ll} 
2 & r\\
\\ 
r & 0\\ 
\end{array} \right) \ \  
T_{ \tiny{ \left( \begin{array}{ll} 
0 & 1\\ 
1 & 0\\
\end{array} \right)}} = 
\left( \begin{array}{ll} 
2r & 5\\
\\ 
5 & 2r\\ 
\end{array} \right)\ \ 
T_{ \tiny{ \left( \begin{array}{ll} 
0 & 0\\ 
0 & 1\\
\end{array} \right)}} = 
\left( \begin{array}{ll} 
0 & r\\
\\ 
r & 8\\ 
\end{array} \right)</tex>


Si <tex>\exists  \, T^{-1} \Rightarrow T</tex> es biyectiva. Por lo tanto lo que hay que determinar son los valores de <tex>r</tex> para los cuales <tex>\exists \, T^{-1}</tex>. 

<tex>\exists \, T^{-1} \Leftrightarrow \exists \, \left[ T^{-1}\right]_{B^\prime} \Leftrightarrow det\left[T^{-1} \right]_{B^\prime} \neq 0 </tex>.
Que <tex>det\left[T^{-1}\right]_{B^\prime} \neq 0</tex> significa que las columnas de <tex>\left[T^{-1}\right]_{B^\prime}</tex> son <tex>LI</tex>.

 <tex> \left[T^{-1}\right]_{B^\prime} =  \left[ \begin{array}{lll} 
2 & 2r & 0 \\
 & \\
r & 5 & r\\
 & \\
0 & 2r & 8\\
\end{array} \right] </tex>

Después de triangular <tex>\left[T^{-1}\right]_{B^\prime}</tex> se obtiene la siguiente matriz:
<tex> \left[ \begin{array}{lll} 
2 & \quad 2r & \quad 0 \\
 & \\
0 & 2r^2 - 10 & \quad -2r\\
 & \\
0 & \quad 0 & 20r^2 - 80\\
\end{array} \right] </tex>\\  
Para que esta matriz tenga todos sus elementos <tex>LI</tex> ninguno debe anularse. Por lo tanto de la tercer columna se obtiene que <tex>r \neq 2</tex> y <tex>r \neq -2</tex>. 

**(II)**

<tex>[T]_{BC} =C_{B^\prime C} [T]_{B^\prime B^\prime} C_{BB^\prime}</tex>

Si <tex>[T]_{BC}</tex> y <tex>[T]_{B^\prime}</tex> son semejantes se cumple que <tex>rango\left([T]_{BC}\right) = rango \left([T]_{B^\prime}\right)</tex>. 

Entonces se debe hallar un valor de <tex>r</tex> de manera que <tex>rango \left([T]_{B^\prime}\right) = 2</tex>

Para que la matriz del inciso anterior sea de rango 2 se debe anular una de las filas. Para <tex>r = 2</tex> y <tex>r = -2</tex> la tercer fila se anula, pero como el enunciado pide los valores de positivos, <tex>r = 2</tex> es el único valor que cumple con la condición planteada.

Entonces:
<tex> [T]_{B^\prime} =  \left[ \begin{array}{lll} 
2 & 4 & 0\\
 & \\
2 & 5 & 2\\
 & \\
0 & 4 & 8\\
\end{array} \right] </tex>

Luego se procede a hallar las bases <tex>B</tex> y <tex>C</tex>. Se define <tex>B = \{W_1\ W_2\ W_3\}</tex> y <tex>C = \{Z_1\ Z_2\ Z_3\}</tex>.

Con las bases definidas se ve que <tex>T(W_3) = (0\ 0\ 0)_C</tex>, entonces <tex>W_3 \in Nu(T)</tex>.
Para hallar el núcleo de <tex>T</tex> se plantea:
 
<tex>\underbrace{\left[ \begin{array}{lll} 
2 & 4 & 0\\
 & \\
2 & 5 & 2\\
 & \\
0 & 4 & 8\\
\end{array} \right]}_{(*)} \left[ \begin{array}{l} 
x_1\\
\\
x_2\\
\\
x_3\\
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{l} 
0\\
\\
0\\
\\
0\\
\end{array} \right] </tex>

<box 80% round green>!!(*)!! Hay que tener mucho cuidado en este caso ya que esta matriz es <tex>[T]_{B^\prime}</tex> y de esta manera estaríamos obteniendo <tex>Nu(T)</tex> pero en coordenadas de la base <tex>B^\prime</tex>. Se pone énfasis en esto ya que es una de las fuentes de error de este tipo de problemas.</box>

Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene que:

<tex>x_2 = -2x_3</tex> y <tex>x_1 = 4x_3</tex>, entonces:

<tex>Nu(T) = \mbox{gen } \left\{ 
\left[ \begin{array}{l} 
-4\\ 
\\
\ \ 2\\
\\
\ \ 1\\
\end{array} \right]_{B^\prime} \right\} \Rightarrow Nu(T) = \mbox{gen } \left\{ 
\left( \begin{array}{ll} 
\ \ 4 & -2\\ 
\\
-2 & \ \ 1\\
\end{array} \right) \right\}</tex>

Por lo tanto:
<tex>W_3 = \left( \begin{array}{ll} 
\ \ 4 & -2\\ 
\\
-2 & \ \ 1\\
\end{array} \right) </tex>


La <tex>Im(T)</tex> esta generada por 2 elementos ya que <tex>rango\left([T]_{B^\prime}\right) = 2</tex>. 

Se toman dos vectores <tex>LI</tex> de esta matriz para formar <tex>Im(T)</tex> teniendo en cuenta que estos vectores estan en coordenadas de la base <tex>B^\prime</tex>. Entonces:

<tex>Im(T) = \mbox{gen } \left\{ 
\left[ \begin{array}{l} 
2\\ 
\\
2\\
\\
0\\
\end{array} \right]_{B^\prime}\left[ \begin{array}{l} 
4\\ 
\\
5\\
\\
4\\
\end{array} \right]_{B^\prime} \right\} \Rightarrow Im(T) = \mbox{gen } \left\{ 
\left( \begin{array}{ll} 
2 & 2\\ 
\\
2 & 0\\
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 
4 & 5\\ 
\\
5 & 4\\
\end{array} \right) \right\}</tex>

Luego, sabiendo que <tex>C</tex> tiene que generar <tex>Im(T)</tex> se proponen:

<tex>Z_1 = \left( \begin{array}{ll} 
2 & 2\\ 
\\
2 & 0\\
\end{array} \right) \mbox{y }  Z_2 = \left( \begin{array}{ll} 
4 & 5\\ 
\\
5 & 4\\
\end{array} \right)</tex>

De esta manera <tex>Z_3</tex> puede ser cualquier elemento <tex>LI</tex> con <tex>Z_1</tex> y <tex>Z_2</tex>. Además debe pertenecer a <tex>\mathcal{S}</tex>.
<tex>Z_3 = \left( \begin{array}{ll} 
0 & 0\\ 
\\
0 & 1\\
\end{array} \right) </tex>

Observando la matriz <tex>[T]_{BC}</tex> se aprecia que:

<tex>T(W_1) = 1\times Z_1</tex>

Como <tex>T_{ \tiny{ \left( \begin{array}{ll} 
1 & 0\\ 
0 & 0\\
\end{array} \right)}} = 
\left( \begin{array}{ll} 
2 & 2\\
\\ 
2 & 0\\ 
\end{array} \right) \Rightarrow W_1 = \left( \begin{array}{ll} 
1 & 0\\ 
0 & 0\\
\end{array} \right)</tex>

Por otro lado <tex>T(W_2) = 1\times Z_1 + 1\times Z_2 </tex>. Utilizando propiedades de transformaciones lineales se puede plantear lo siguiente:

Si se supone <tex>W_2 = a + b</tex>, entonces:

<tex>T(W_2) = T(a + b) = 1\times Z_1 + 1\times Z_2 </tex>

<tex>T(a + b) = T(a) + T(b) = 1\times Z_1 + 1\times Z_2 </tex>

<tex>\Rightarrow T(a) = Z_1 \mbox{y } T(b) = Z_2 </tex>

Como <tex>a = W_1</tex> y <tex>T_{ \tiny{ \left( \begin{array}{ll} 
0 & 1\\ 
1 & 0\\
\end{array} \right)}} = 
\left( \begin{array}{ll} 
4 & 5\\
\\ 
5 & 4\\ 
\end{array} \right)</tex>, entonces:

<tex>b = \left( \begin{array}{ll} 
0 & 1\\
\\ 
1 & 0\\ 
\end{array} \right)</tex>

<tex>\Rightarrow W_2 = a + b = \left( \begin{array}{ll} 
1 & 0\\
\\ 
0 & 0\\ 
\end{array} \right) + \left( \begin{array}{ll} 
0 & 1\\
\\ 
1 & 0\\ 
\end{array} \right) = \left( \begin{array}{ll} 
1 & 1\\
\\ 
1 & 0\\ 
\end{array} \right)</tex>

De esta manera quedan definidos todos los elementos de las bases <tex>B</tex> y <tex>C</tex>.

<tex> B = \left\{ \left( \begin{array}{ll} 
1 & 0\\
\\ 
0 & 0\\ 
\end{array} \right)\left( \begin{array}{ll} 
1 & 1\\
\\ 
1 & 0\\ 
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 
\ \ 4 & -2\\
\\ 
-2 & \ \ 1\\ 
\end{array} \right) \right\} \ \mbox{Base de } \mathcal{S}</tex>

<tex> C = \left\{ \left( \begin{array}{ll} 
2 & 2\\
\\ 
2 & 0\\ 
\end{array} \right)\left( \begin{array}{ll} 
4 & 5\\
\\ 
5 & 4\\ 
\end{array} \right) \left( \begin{array}{ll} 
0 & 0\\
\\ 
0 & 1\\ 
\end{array} \right) \right\} \ \mbox{Base de } \mathcal{S}</tex>

==== Punto 4 ====

**(I)**

Si <tex>\hat{x}</tex> es solución por cuadrados mínimos de <tex>Ax = y</tex> entonces <tex>A^TA\hat{x} = A^Ty</tex>

<tex>A^TA = \left[ \begin{array}{ll} 
3 & 0\\
\\ 
0 & 2\\ 
\end{array} \right]</tex>

Se analiza la inversa de <tex>A^TA</tex> para poder definir <tex>f(y) = \hat{x} = (A^TA)^{-1} A^Ty</tex>

<tex>(A^TA)^{-1} = \left[ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & 0\\
\\ 
0 & \frac{1}{2}\\ 
\end{array} \right]</tex>

Por definición <tex>(A^TA)^{-1}A^T = A^H \Rightarrow f(y) = A^Hy</tex>

Para que <tex>f</tex> sea lineal se debe cumplir:

  *(a) <tex>f(y + z) = f(y) + f(z)</tex>
  *(b) <tex>f(\alpha y) = \alpha f(y)</tex>  

(a) <tex>f(y + z) = A^H(y + z) = A^Hy + A^Hz = f(y)+f(z)</tex>\\

(b) <tex>f(\alpha y) = A^H(\alpha y) = \alpha A^H(y) = \alpha f(y)</tex>\\

Se procede a hallar la representación matricial de <tex>f</tex> en las bases canónicas:

<tex> E_1 = \left\{ \left( \begin{array}{l} 
1\\
\\ 
0\\
\\
0\\ 
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 
0\\
\\ 
1\\
\\
0\\ 
\end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 
0\\
\\
0\\
\\ 
1\\ 
\end{array} \right) \right\}</tex>

<tex>f(1\ 0\ 0) = A^H\left[ \begin{array}{l} 
1\\ 
\\
0\\
\\ 
0\\ 
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & 0\\
\\ 
0 & \frac{1}{2}\\ 
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 
1\\
\\ 
1\\ 
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3}\\
\\ 
\frac{1}{2}\\
\end{array} \right]</tex>

<tex>f(0\ 1\ 0) = A^H\left[ \begin{array}{l} 
0\\ 
\\
1\\
\\ 
0\\ 
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & 0\\
\\ 
0 & \frac{1}{2}\\ 
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 
1\\
\\ 
0\\ 
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3}\\
\\ 
0\\
\end{array} \right]</tex>

<tex>f(0\ 0\ 1) = A^H\left[ \begin{array}{l} 
0\\ 
\\
0\\
\\ 
1\\ 
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} 
\frac{1}{3} & 0\\
\\ 
0 & \frac{1}{2}\\ 
\end{array} \right] \left[ \begin{array}{l} 
-1\\
\\ 
\ \ 1\\ 
\end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ll} 
-\frac{1}{3}\\
\\ 
\ \ \frac{1}{2}\\
\end{array} \right]</tex>

<tex> E_1 = \left\{ \left( \begin{array}{l} 
1\\
\\ 
0\\
\end{array} \right)\left( \begin{array}{l} 
0\\
\\ 
1\\
\end{array} \right) \right\}</tex>

<tex> [T]_{E_1E_2} = \left[ \begin{array}{lll} 
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\
\\ 
\frac{1}{2} & 0 & \ \ \frac{1}{2}\\
\end{array} \right]</tex>

**(II)**

Para hallar la imagen y núcleo de <tex>f</tex> se trabaja con <tex>[T]_{E_1E_2}</tex>.

Para hallar el núcleo se plantea lo siguiente:

<tex> \left[ \begin{array}{lll} 
\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{1}{3}\\
\\ 
\frac{1}{2} & 0 & \ \ \frac{1}{2}\\
\end{array} \right]\underbrace{\left[ \begin{array}{l} 
x_1\\
\\ 
x_2\\
\\
x_3\\
\end{array} \right]}_{(*)} = \left[ \begin{array}{l} 
0\\
\\ 
0\\
\\
0\\
\end{array} \right]</tex>

<box 80% round orange>!!(*)!! Este vector esta en coordenadas de la base canónica de <tex>\mathbf{R}^3</tex>.</box>

de este sistema de ecuaciones se obtiene lo siguiente:
<tex> \frac{1}{3}(x_1 + x_2 - x_3) = 0$ y $\frac{1}{2}(x_1 + x_3) = 0</tex>, entonces:

<tex>Nu(T) = \mbox{gen } \left\{ 
\left[ \begin{array}{l} 
\ \ 1\\ 
\\
-2\\
\\
-1\\
\end{array} \right]_{E_1} \right\} \underbrace{=}_{(**)} \mbox{gen } \left\{ 
\left( \begin{array}{ll} 
\ \ 1\\ 
\\
-2\\
\\
-1\\
\end{array} \right) \right\}</tex>

<box 80% round blue>!!(**)!! Esta igualdad se da ya que <tex>E_1</tex> y <tex>E_2</tex> son bases canónicas y por isomorfismo de coordenadas los vectores y sus coordenadas coinciden.</box>


Entonces:

<tex>B = \left\{ 
\left( \begin{array}{l} 
\ \ 1\\ 
\\
-2\\
\\
-1\\
\end{array} \right) \right\} \mbox{Base de} Nu(T)</tex>

Luego:

<tex>Im(T) = \mbox{gen } \left\{ 
\left( \begin{array}{l} 
\frac{1}{3}\\ 
\\
\frac{1}{2}\\
\end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 
\frac{1}{3}\\ 
\\
0\\
\end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 
-\frac{1}{3}\\ 
\\
\ \ \frac{1}{2}\\
\end{array} \right) \right\} </tex>

Para hallar una base de <tex>Im(T)</tex> solo de debe quitar uno de estos tres vectores que sea $LD$.
Entonces:

<tex>C = \left\{ 
\left( \begin{array}{l} 
\frac{1}{3}\\ 
\\
\frac{1}{2}\\
\end{array} \right) \left( \begin{array}{l} 
\frac{1}{3}\\ 
\\
0\\
\end{array} \right) \right\} \mbox{Base de} Im(T)</tex>


===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>
El enunciado del primer punto dice que el PI es f(0) + g(0) + la integral. De esa manera no es PI. Luego, en la resolución primero toma que es f(0) + g(0) + la integral pero luego lo toma como si fuese f(0)*g(0) + la integral. De esa forma si es PI. Espero haberme explicado bien.

FIXED