====== Examen Parcial - 61.08. Álgebra II ======

**Cátedra:** Curso 01
**Fecha:** 1º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007\\
**Día:** 10/05/2003

==== Punto I ====

Sea <tex>V=\{f:R \to R:f=c_1f_1+c_2f_2+c_3f_3\}</tex> con <tex>f_1(t)=2+t+t^2</tex>, <tex>f_2(t)=2+ \alpha t+t^2</tex> y <tex>f_3(t)= \alpha + 2t+t^2</tex>. Se pide:

**(a)** Determinar todos los valores de <tex>\alpha</tex> para los que está bien definida  <tex>T \in \mathcal{L} (V,R^3)</tex> tal que <tex>T(f_1)=[1, 1, 1]^T</tex>, <tex>T(f_2)=[1,,-1,1]</tex> y <tex>T(f_3)=[2,0,2]^T</tex>. Para esos valores de <tex>\alpha</tex> hallar bases de <tex>Nu(T)</tex> e <tex>Im(t)</tex>.

**(b)** para la transformación lineal <tex>T</tex> del punto a, con <tex>\alpha =-1</tex>, decidir para qué valores de <tex>\lambda</tex> existirán bases <tex>B</tex> de <tex>V</tex> y <tex>B'</tex> de <tex>R^3</tex> tales que <tex>[T]_{BB'}= \left[ \begin{array}{ccc} 
 0 & 3 & 1\\
 0 & 2 & 1\\
 \lambda -1 & \lambda +2 & 1
 \end{array} \right]</tex>. Encontrar <tex>B</tex> y <tex>B'</tex>.

==== Punto II ====

**(a)** Encontrar <tex>A \in R^{3x3}</tex> tal que <tex>[0,-1,1]A=0</tex> y <tex>A</tex> admita una descomposición <tex>QR</tex> normalizada <tex>A=QR</tex> con <tex>R= \left[ \begin{array}{ccc} 
 2 \sqrt{2} & \sqrt{2} & 2 \sqrt{2}\\
 0 & \sqrt{3} & 2 \sqrt{3}\\
 \end{array} \right]</tex>. Es única?

**(b)** Hallar, para la matriz <tex>A</tex> de a, la matriz de proyección sobre <tex>[Col(A)]^{\perp}</tex>.

==== Punto III ====

**(a)** Demostrar que <tex>(p,q)=p(0)q(0)+p(1)q(1)+p(-1)q(-1)</tex> es producto interno en <tex>\mathcal{P} _2</tex> pero no en <tex>\mathcal{P} _3</tex>

**(b)** Hallar los valores de <tex>\alpha</tex> y <tex>\beta</tex> para que <tex>p = \alpha (t-1) + \beta (t^2-1)</tex> se encuentre lo más cerca posible de <tex>q=t^2</tex>, considerando el producto interno definido en a.



Hallar <tex>A \in R^{3x3}</tex> tal que <tex>P=  \left[ \begin{array}{cc} 
 1/2 & 1/2\\
 1/2 & 1/2 \\
 \end{array} \right]</tex> proyecte sobre <tex>Col(A)</tex>; <tex>Nul(A)= \{x \in R^3 : x_1+x_2 =0 \}</tex> y <tex>Max_{\|x\|=1} \|Ax\|=2</tex>.


==== Punto IV ====

Sea <tex>T \in \mathcal{L} (R^3, \mathcal{P} _2</tex> tal que <tex>[T]_{EB}=  \left[ \begin{array}{ccc} 
 1 & 4 & 0\\
 -2 & 1 & 3\\
 \lambda ^2 & 4 \lambda +3 & 1 
\end{array} \right]</tex> con <tex>E</tex> la base canónica de <tex>R^3</tex> y <tex>B=\{t^2+1;t^2+t;t^2\}</tex>. Se pide:

**(a)** 
i) Hallar los valores de <tex>\lambda</tex> para que <tex>T</tex> sea inversible.
ii)Para <tex>\lambda = -1</tex> justificar que <tex>T</tex> es biyectiva, explicar cómo se obtiene <tex>[T^{-1}]_{EE'}</tex> a partir de <tex>[T]_{EB}</tex> (Con <tex>E'</tex> la base canónica de <tex>\mathcal{P}_2</tex> y calcular <tex>T^{-1}(p)</tex> para <tex>p=4t^2+3t</tex>.

**(b)** Hallar los valores de <tex>\lambda</tex> para que existan al menos dos <tex>x \in R^3</tex> distintos, tales que <tex>T(x)=-2t+1</tex>.

** El examen se aprueba resolviendo correctamente cuatro puntos, entre los cuales debe figurar uno del ejercicio 1 ó 4 y uno del 2 ó 3. Justificar todas las respuestas. **