====== Examen Final - 61.08. Álgebra II A - 07/08/2008 ======
**Cátedra:** Indistinta\\
**Fecha:** 4º Oportunidad - Invierno 2008\\
**Día:** 07/08/2008
===== Enunciado =====
==== Punto 1 ====
Resolver el problema \left\{ \begin{array}{cl} (i) & \sen^2(t) y'(t) + \sen(2t)y(t) = \ln \left( t^2-1 \right)\\ (ii) & y(2)=0 \end{array} \right., especificando dominio de existencia y unicidad de la solución.
==== Punto 2 ====
Sea B= \left\{ v_1, v_2, v_3 \right\} una base de un \mathbf{R}-espacio vectorial V y sea T \in \mathcal{L}(V) tal que T \left( v_1 \right) = 2(1+s)v_1 + 2sv_3, T\left(v_2\right) = sv_1 + 2v_2 y T\left(v_3\right) = (s-2)v_1 + sv_3. Hallar todos los s \in \mathbf{R} para los cuales existe una base de V compuesta por autovectores de T y exhibir una de esas bases (en términos de la base B).
==== Punto 3 ====
Sea A \in \mathbf{R}^{2\times2} la matriz de proyección sobre S = \left\{ x \in \mathbf{R} : x_1+x_2 = 0 \right\} y sea Q\colon \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} la forma cuadrática dada por Q(x)=x'Ax. Determinar, si existen, \mathrm{m\acute{a}x}_{Q(x)=2} \left( {\|x\|}^2 \right) y \mathrm{m\acute{\i}n}_{Q(x)=2} \left( {\|x\|}^2 \right) y los puntos donde se alcanzan estos valores.
==== Punto 4 ====
Encontrar la solución del sistema \left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t) &=& x_3(t) + \cosh t\\ x_2'(t) &=& x_2(t) + f(t)\\ x_3'(t) &=& x_1(t) + \senh t \end{array} \right. donde la función f\colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} verifica f''(t) +4f(t) = t,\ f(0)=0,\ f'(0)=\frac{1}{4}.
==== Punto 5 ====
Dada A = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -2 & \phantom{-}0\\ 1 & \phantom{-}1 & -1\\ 1 & \phantom{-}1 & \phantom{-}1\end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 2 & 0\\ 0 & 2\\ 0 & 0\end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \phantom{-}\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array} \right], hallar la matriz de proyección sobre el espacio ortogonal a \mathrm{Col}(A) y calcular A.
//Justifique todas sus respuestas. Numere las hojas y firme al final del examen.//\\
**El examen se aprueba resolviendo correctamente 3 (tres) ejercicios.**
===== Resolución =====
Punto 1
Yo lo resolvi de esta manera..
El tema pasa por recordar una de las viejas propiedades de trigonometria:
sen(t+u) = sen(t)cos(u) + sen(u)cos(t)
Entonces sen(2t) = sen(t)cos(t) + sen(t)cos(t) = 2sen(t)cos(t)
Luego la **derivada de sen²(t)** si la calculamos con una sustitución de sen(t)=v
y dv = d(sen(t)) = cos(t) quedaria:
d(v²) = 2v dv = 2sen(t) d(sen(t)) = 2sen(t)cos(t) = sen(2t)
Por lo tanto la ec diferencial se reduce a:
sen²(t)y'(t) + sen(2t)y(t) = [sen²(t)y(t)]' = ln(t²-1)
Integrando en ambos miembros queda... sen²(t)y(t) = ∫ln(t²-1)dt
Por lo tanto.. y(t) = [∫ln(t²-1)]/sen²(t) = {2[ln(t²-1)-2] + ln(t+1) - ln(t-1) + c} / sen²(t)
Luego c = -3ln(3)+4 --> **c = -ln(27)+4**
Quedaria y(t) = {2[ln(t²-1)-2] + ln(t+1) - ln(t-1) - ln(27) + 4} / sen²(t)
Finalmente agrupando logaritmos
**y(t) = ln[(t²-1)²(t+1)/27(t-1)] / sen²(t)**
sabiendo que (t²-1)=(t+1)(t-1)...
**y(t) = ln[(t+1)³(t-1)/27] / sen²(t)**
Comment: Ya se.. es una expresion horriblee en ambas formas.. pero la probe diferenciandola
y encaja perfectamente como solución
===== Discusión =====
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
Bueno, si ven algo incorrecto lo discutimos para corregirlo
<>