====== Examen Final - 61.08. Álgebra II A - 29/02/2008 ======
**Cátedra:** Única\\
**Fecha:** 2º Cuatrimestre 2007\\
**Día:** 29/02/2008
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===== Enunciado =====
==== Problema 1 ====
Sea
A = \left( {\begin{array}{*{20}c}
\alpha & 1 & 0 \\
\beta & \alpha & 1 \\
0 & \beta & \alpha \\
\end{array} } \right)\alpha ,\beta \in \Re\\
a) Hallar los valores de \alpha y \beta para los cuales existe una base de \Re^3 compuesta por autovectores de A.
b) Considerar \alpha = \frac{1}{2} y \beta = \frac{1}{8}. Hallar todos los v \in \Re ^3 que satisfagan la condición: \mathop {{\text{l\'i m}}}\limits_{k \to \infty } A^k v = \left[ {\begin{array}{*{20}c}
8 & 4 & 1 \\
\end{array} } \right]^t
==== Problema 2 ====
a) Se sabe que A \in \Re ^{3x3} es diagonalizable ortogonalmente, que \left[\begin{array}{ccc}
2 & {-2} & {-1} \\
\end{array}\right]^t es autovector de A y que A \left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
\end{array}\right]^t =\left[\begin{array}{ccc}
3 & 2 & 2 \\
\end{array}\right]^t y A \left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\
\end{array}\right]^t =\left[\begin{array}{ccc}
2 & 2 & 0 \\
\end{array}\right]^t.\\
Hallar los autovalores de A y una base ortonormal de \Re^3 compuesta por autovectores de A.
b) Sea A,B \in \Re ^{nxn} simétricas. Probar que si los autovalores de A pertenecen al intervalo [a,b] y los de B al intervalo [c,d], entonces los autovalores de A+B se encuentran en [a+c,b+d].
==== Problema 3 ====
a) Sea Q:\Re ^2 \to \Re \_\_Q(x) = 13x_1 ^2 - 8x_1 x_2 + 7x_2 hallar todos los x de norma 1 que verifiquen Q(x)=10.
b) Sean A \in \Re ^{nxm} y P \in \Re ^{nxn} ,Q \in \Re ^{mxm} matrices ortogonales, probar que si B=PAQ^t entonces B^+=QA^+P^t, donde A^+ y B^+ representan las matrices seudoinversas de moore-penrose de A y B respectivamente.
==== Problema 4 ====
a) Sea A \in \Re ^{2x2} simétrica tal que det(A)>0 y tr(A)<0. Probar que toda solución x(t) = (x_1 (t);x_2 (t))^t del sistema de ecuaciones x'=Ax verifica \mathop {{\text{l\'i m}}}\limits_{t \to \infty } x_i (t) = 0\quad i = 1,2.
b) Hallar todas las soluciones de la ecuación: y''' + y'' - 2y' = e^t (sugerencia: considere x=y').
===== Resolución =====
===== Discusión =====
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