====== Examen (Final) - 61.08. Algebra II - 20/02/2008 ====== **Cátedra:** Indistinta.\\ **Fecha:** 3ra Oportunidad - Verano 2008\\ **Día:** 20/02/2008 ==== Punto 1 ==== **(a)** Sea A\in \mathbf{C}^{2\times2} que posee dos autovalores distintos. Probar que si B es tal que AB=BA entonces B es diagonalizable. (**Sugerencia:** considere a B = PB^*P^{-1}) **(b)**Sea T \in \mathcal{L}\left(\mathcal{P}_2\right) definida por: T\left(a_0 + a_1 t + a_2 t^2\right) = 4a_0 + \left(3a_1+a_2\right)t + \left(a_1+3a_2\right)t^2 Probar que no existe una base B de \mathcal{P}_2 tal que: [T]_B = \left[ \begin{array}{c c c} 3 & 1 & 0\\ -1 & 5 & 0\\ 0 & 0 & 2\\ \end{array} \right] ==== Punto 2 ==== **(a)** Sea \langle x,y \rangle_a = 10x_1y_1 + 6x_1y_2 + 6x_2y_1 + 10x_2y_2, \quad x,y \in \mathbf{R} Probar que \langle \cdot , \cdot \rangle_a es producto interno en \mathbf{R}^2 y hallar B \in \mathbf{R}^{2\times2} simétrica e indefinida tal que {\langle x,y \rangle}_a = \left\langle Bx,By \right\rangle cuando \langle \cdot , \cdot \rangle es el PI canónico de \mathbf{R}^2. **(b)** Graficar el conjunto \left\{ x \in \mathbf{R}^2 : |x|_a \le 4 \right\} y hallar \mbox{m\'ax}_{x^T x = 1} |x| y los vectores donde alcanza extremo. ==== Punto 3 ==== **(a)** Sea A \in \mathbf{R}^{n \times n} probar que \left|\mathrm{det}(A)\right| es igual al producto de los valores singulares de A. **(b)** Hallar A \in \mathbf{R}^{3\times3} tal que \mathrm{Col}(A) = \left\{ x \in \mathbf{R}^3 : x_1 + x_2 + x_3 = 0 \right\} y \mathrm{Fil}(A)= \left\{ x \in \mathbf{R}^3 : x_1 - x_2 + x_3 = 0 \right\} y 3 y 2 son valores singulares de A. ==== Punto 4 ==== **(a)** Probar que toda solución Y(t) = \left( \begin{array}{c} y_i(t)\\ y_i(t) \end{array} \right) del sistema:\\ y'_1=-3y_1-y_2\\ y'_2=y_1-5y_2 Satisface la condición \lim_{t\rightarrow \infty} y(t) = 0, \qquad i=1,2 **(b)** Resolver el problema de valores iniciales y''+ay'+by=e^t, y(0)=y'(0)=0. Sabiendo que a,\ b son constantes reales y que y(t) = e^t cos(2t) es solución de la ecuación homogénea asociada. ===== Resolucion ===== ==== Punto 1 ==== === (a) === A es una matriz 2X2 (aunque si fuese n X n la idea sería la misma) con 2 autovalores distintos. Entonces A es diagonalizable y se puede escribir A=PDP^{-1} con D=\left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] con \lambda_1 \neq \lambda_2 . Ahora escribimos B=PB^*P^{-1} (lo cual es siempre posible tomando B^*=P^{-1}BP ). Si probamos que B^* es diagonal, entonces B es diagonalizable. Como AB=BA , tenemos que AB=PDP^{-1}PB^*P^{-1}=PDB^*P^{-1}=BA=PB^*DP^{-1} con lo cual PDB^*P^{-1}= PB^*DP^{-1} , y, por lo tanto, cancelando P \;{\rm y} \;P^{-1} resulta DB^*=B^*D. Ahora usamos que D es diagonal y que los elementos de la diagonal son distintos. Llamando B^*=(u_{ij}) , tenemos \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22} \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 u_{11}& \lambda_1 u_{12}\\ \lambda_2 u_{21} & \lambda_2 u_{22}\end{array} \right ] y \left [ \begin{array}{rr} u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22} \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 & 0\\ 0 & \lambda_2 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{rr} \lambda_1 u_{11}& \lambda_2 u_{12}\\ \lambda_1 u_{21} & \lambda_2 u_{22}\end{array} \right ] . Entonces \lambda_1 u_{12}=\lambda_{2}u_{12} y \lambda_1 u_{21}=\lambda_{2}u_{21}. Como \lambda_1 \neq \lambda_2, necesariamente u_{12}=0 y u_{21}=0, con lo cual B^* es diagonal. === (b) === ==== Punto 2 ==== === (a) === Si G es la matriz definida positiva de p.i que cumple \left \langle x,y \right\rangle_a =x^TGy, entonces \left\langle Bx,By \right\rangle =x^TB^TBy=x^TGy. Como la matriz que buscamos es simétrica, la igualdad se cumple si hallamos B simétrica e indefinida tal que B^2=G. Para hallar B, diagonalizamos ortogonalmente G, G=PDP^T. Teniendo en cuenta que los avas de G son positivos (por ser definida positiva), definimos B=PD^*P^T con D^* una matriz diagonal en la cual aparecen las raíces cuadradas de los elementos de D, una con signo positivo y otra con signo negativo. Tal B es simétrica, indefinida y verifica B^2=G. === (b) === ==== Punto 3 ==== === (a) === det(A) = det(U).det(\Sigma).det(V^t) = ( \pm 1).det( \Sigma ).( \pm 1) \Rightarrow |Det(A)| = det(\Sigma) = \sigma _1 .\sigma _2 ... \sigma _n === (b) === ==== Punto 4 ==== === (a) === === (b) === Podes ayudar a Resolver este final, si no sabes usar el wiki consulta [[foro>viewtopic.php?t=6004|aca]]