====== Examen (Final) - 61.08. Algebra II - 12/02/2008 ====== **Cátedra:** Única\\ **Fecha:** 2da Oportunidad - Verano 2008\\ **Día:** 12/02/2008 ==== Punto 1 ==== Sea base B = \{v_1;v_2;v_3\} de un R- espacio vectorial V y sea T \in L(V) definida por: T(v_1)= 3v_1 + 6v_2+ 4v_3 T(v_2)= 2v_2 T(v_3)= -2v_1 - 6v_2-3v_3 (a) Hallar tres subespacios de dimension 1, S_1,S_2,S_3 tales que: T(S_i) \subseteq S_i para i= 1,2,3 y V= S_1 \oplus S_2 \oplus S_3 (b) Hallar [ T^k ]_B para k \in N ==== Punto 2 ==== (a) Hallar A \in \mathbf R^{3 \times 3} simétrica tal que [1 \quad 1 \quad 0]^t y [0 \quad 1 \quad 1]^t sean autovectores de A, det(A)=2 y traza(A)=0. (b) Sea Q(x)=x^T(I- \alpha A)x con A la matriz hallada en (a) y \alpha \in R. Hallar max_{\|x\|=1}Q(x) y todos los vectores en los cuales se alcanza ese extremo. ==== Punto 3 ==== (a) Sea Q: R^2 \rightarrow R, Q(x)=11x_1^2 - 16x_1x_2 - x_2^2. Hallar todos los x \in R^2 de norma 1 tales que Q(x)=0 (b) Sea A \in \mathbf R^{m \times n} com //m// valores singulares no nulos. Probar que (x,y)=x^T(AA^T)y es producto interno en R^m. ==== Punto 4 ==== (a) Sea A una matriz //n x n//. Probar que si A posee //n// autovalores distintos entonces existe una matriz inversible P tal que el cambio de variables y=Pz transforma el sistema de ecuaciones diferenciales y'=Ay en el sistema z'=Dz con D una matriz diagonal. (b) Hallar todas las funciones y,z que satisfagan las condiciones: ty'=y + 1, z''+z-y=0, y( \pi )=-1, z( \pi )=-2, z'( \pi )=0