====== Examen Final - 61.08. Álgebra II ====== **Cátedra:** Todas\\ **Fecha:** 5º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007\\ **Día:** 8/08/2007 ==== Punto I ==== **(a)** Sea A \in C^2 diagonalizable. Probar que Col(A) \oplus Nul(A) = C^n. **(b)** Hallar los autovalores y autoespacios de A=B(C^n+I)B^{-1} con B= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right] y C= \left[ \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0\\ -1 & 2 & 0\\ -1 & 1 & 2\\ \end{array} \right] ==== Punto II ==== **(a)** Probar que si A \in R^{nxn} es simétrica y sus autovlaores tienen módulo 1 entonces las comlumnas de A forman una BOG de R^n. **(b)** Sabiendo que Q(x) es una forma cuadrática en R^n tal que con el cambio x=Pz con P \in R^{2x2} ortogonal, se transforma en 11z_1^2+6z_1z_2+4z_2^2, hallar Max_{\|x\|=1}Q(x) y Min_{\|x\|=1}Q(x). ==== Punto III ==== **(a)** Sea T \in \mathcal{L}(R^3) definida por T(x)= \left[ \begin{array}{c} x_1+x_2-x_3\\ x_1+ \alpha x_2-x_3\\ x_2+2x_3\\ \end{array} \right]. Determinar para qué valores de \alpha \in R \exists B y C ortonormales de R^3 tal que [T]_{BC}= \left[ \begin{array}{ccc} \gamma _1 & 0 & 0\\ 0 & \gamma _2 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right] con \gamma _1 y \gamma _2 >0. Para los valores de \alpha hallados mostrar esas bases. **(b)** Probar que (A^T)^+=(A^+)^T con A \in R^{mxn}. ==== Punto IV ==== **(a)** Expresar en términos de funciones reales la solución general de Y'= \left[ \begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right]Y. **(b)** Sea V= \{ F:R \to R \backslash F \in C^2(R) y F(0)=0 \} y sea L:V \to C(R) definida como L(F)=F''-F. Probar que L es transformación lineal, hallar bases de Nul(L) y todas las F \in V \backslash L(F)=1.