====== Examen Final - 61.08. Álgebra II ======

**Cátedra:** Todas\\
**Fecha:** 4º Oportunidad - (1º Cuatrimestre|Invierno) 2007\\
**Día:** 31/07/2007

==== Punto I ====

**(a)** Sean A y B matrices de <tex>R^{nxn}</tex> tal que A es diagonalizable y todo autovector de A es a la vez autovector de B. Probar que <tex>AB=BA</tex>.

**(b)** Sea <tex>A=  \left[ \begin{array}{cc} 
 -1/2 & 3\\
 -1/2 & 2 \\
 \end{array} \right]</tex>. Hallar todos los <tex>x \in R^2</tex> tales que <tex>\lim_{k \to \infty} (A^kx)= \left[ \begin{array}{c} 
 2\\
 1\\
 \end{array} \right]</tex>. 

==== Punto II ====

Sea <tex>Q(x)=x^T  \left[ \begin{array}{cc} 
 a & b\\
 b & a\\
 \end{array} \right]x</tex>, a y b reales y positivos. 

**(a)** Graficar el conjunto de pares <tex>(a,b)</tex> para los cuales se cumple <tex>0 < Q(x) < 2</tex> <tex>\forall x / \|x\| =1</tex>.

**(b)** Tomando <tex>a= \frac {3}{2}</tex> y <tex>b= \frac {5}{2}</tex>, graficar <tex>\{ x \in R^2 : Q(x) \leq 0 \}</tex>.

==== Punto III ====

**(a)** Probar que si <tex>A \in R^{nxn}</tex> tal que <tex>\|Ax\|=\|x\|</tex> <tex>\forall x \in R^n</tex> entonces los valores singulares de A son todos 1 y es ortogonal.

**(b)** Hallar <tex>A \in R^{3x3}</tex> tal que <tex>P=  \left[ \begin{array}{cc} 
 1/2 & 1/2\\
 1/2 & 1/2 \\
 \end{array} \right]</tex> proyecte sobre <tex>Col(A)</tex>; <tex>Nul(A)= \{x \in R^3 : x_1+x_2 =0 \}</tex> y <tex>Max_{\|x\|=1} \|Ax\|=2</tex>.


==== Punto IV ====

**(a)** Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

<tex>y'_1 = -y_1 + 9y_2\\
y'_2 = -y_1 + 5y_2</tex>

**(b)** Hallar los valores de <tex>a \in R</tex> para que toda solución <tex>y(t)</tex> de la ecuación <tex>y''+(a+1)y'+ay=0</tex> tenga límite finito cuando <tex>t \to + \infty</tex>.